Question

Chứng minh rằng √5 − √3 là số vô tỉ.

Answer 1

Dùng phản chứng:Giả sử \(\sqrt5-\sqrt3\) là số hữu tỉ

Khi đó tồn tại 2 số nguyên p,q sao cho \(\sqrt5-\sqrt3=\frac{p}{q}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt5-\sqrt3\right)^2=\left(\frac{p}{q}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow5-2\sqrt{15}+3=\frac{p^2}{q^2}\)

\(\Leftrightarrow8+2\sqrt{15}=\frac{p^2}{q^2}\) \(\Leftrightarrow-2\sqrt{15}=\frac{p^2}{q^2}-8\)

\(\sqrt{15}=\frac{8q^2-p^2}{2q^2}\) (Vô lý)

Vì \(\sqrt{15}\) là số vô tỉ (do 15 không phải số chính phương ) và \(\frac{8q^2-p^2}{2q^2}\) là số hữu tỉ

=> \(\sqrt5-\sqrt3\) là số vô tỉ (Theo phản chứng)