Đặt \(\frac{x}{z}=\frac{z}{y}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=zk\\z=yk\end{cases}}\)(1)

\(\Rightarrow\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{\left(zk\right)^2+\left(yk\right)^2}{y^2+z^2}=\frac{k^2\left(z^2+y^2\right)}{y^2+z^2}=k^2\)(2)

Từ (1) suy ra \(x=yk^2\Rightarrow\frac{x}{y}=\frac{yk^2}{y}=k^2\)(3)

Từ (2) và (3) suy ra \(\frac{x^2+z^2}{y^2+z^2}=\frac{x}{y}\)

Đặt\(\frac{x}{z}\)=\(\frac{z}{y}\)= k

=> x = k . z ; z = k . y

=>\(\frac{x^2+y^2}{y^2+z^2}\)= \(\frac{\left(k.z\right)^2+\left(k.y\right)^2}{y^2+z^2}\)=\(\frac{k^2.\left(z^2+y^2\right)}{z^2+y^2}\)= \(k^2\)(1)

=> \(\frac{x}{y}\)= \(\frac{k.z}{y}\)=\(\frac{k.k.y}{y}\)=\(\frac{k^2.y}{y}\)= \(k^2\)(2)

Từ (1);(2)

=> ĐPCM

~~~~~Chúc bạn hok tốt~~~~~

x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)

tích di

tích cho t nha mn 

\(VT=x^3+y^3+z^3-3xyz.\)

\(=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+z^3-3xyz\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-z\left(x+y\right)+z^2\right]-3xy\left(x+y+z\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+2xy+y^2-xz-yz+z^2-3xy\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xz-yz-xy\right)=VP\left(đpcm\right)\)

Cứu với ;-;

Ta có:x mũ 2 = y.z và y mũ 2=x.z

=>x mũ 2=yz.y mũ 2

=>x mũ 3.z=y mũ 3.z

=>x mũ 3=y mũ 3

=>x=y

Ta lại có: y=xz và x mũ 2=xy

=>y mũ 2.x.y=xy.z mũ 2

=>y mũ 3.x=z mũ 3.x

=>y mũ 3=z mũ 3

=>y=z

Vì x=y;y=z

=>x=y=z

mình nghĩ ra cách này ko biết đúng hay sai, nhưng mình sẽ cm cho bạn xem trước cái này để mình đảo lại trong quá trình làm bài luôn cho đỡ mất thời gian

\(\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}=\dfrac{x-z-x+y}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{\left(y-z\right)}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}\)

thế nên sẽ đảo ngược lại trong bài này, vây ta sẽ có

\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}=\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}\\ \dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(x-y\right)}=\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{x-y}\\ \dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}=\dfrac{1}{z-x}-\dfrac{1}{y-z}\)

thay vào đề bài ta được

\(\dfrac{y-z}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\dfrac{z-x}{\left(y-z\right)\left(y-x\right)}+\dfrac{x-y}{\left(z-x\right)\left(y-x\right)}\\ =\dfrac{1}{x-y}-\dfrac{1}{x-z}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{y-x}+\dfrac{1}{z-x}-\dfrac{1}{y-x}\\ =\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{y-z}+\dfrac{1}{z-x}+\dfrac{1}{z-x}\\ =\dfrac{2}{x-y}+\dfrac{2}{y-x}+\dfrac{2}{z-x}\left(đpcm\right)\)

vậy ...

mình nghĩ ra thì là như z, chúc may mắn :)