Với mọi a>1. CMR: \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\)
Bài 1 : Cmr :
a, \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\) với mọi a>1
b, \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\) với mọi a \(\in R\)
Bài 2 : Cho a>0. Cmr \(\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge2\)
Bài 3 : Cho a,b,c>0. Cmr \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< 2\)
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
CMR : Với mọi \(n\ge3\) ta luôn có :
\(A=\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{2}\)
Bài 1: Cho a,b>0.CMR: \(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1\)
Bài 2: Với \(\forall\)a \(\in\)R. CMR: \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\)
Bài 3: Với mọi a,b,c>0. CMR: \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
1)Áp dụng bđt AM-GM:
\(2\left(ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)=\left(ab+\frac{a}{b}\right)+\left(ab+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\ge2\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+1."="\Leftrightarrow a=b=1\)
2) Áp dụng bđt AM-GM ta có: \(a+\frac{1}{a-1}=a-1+1+\frac{1}{a-1}\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=3\)
\("="\Leftrightarrow a=2\)
3) Áp dụng bđt AM-GM:
\(2\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)=\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\right)+\left(\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\right)+\left(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
Cộng theo vế và rg => ddpcm. Dấu bằng khi a=b=c
(2) Bài 1: Với \(\forall\) a>1.CMR: \(a+\frac{1}{a-1}\ge3\)
(3)Bài 2:Với \(\forall\) a,b >0 .CMR: \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)
(5) Bài 3: Với \(\forall\) a>b>0. CMR: \(a+\frac{4}{\left(a+b\right)\left(b+1\right)^2}\ge3\)
Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)
Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)
\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0
Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)
CMR:\(a+\frac{1}{a}\ge\frac{10}{3}\left(a\ge3\right)\)
Giúp mình với ạ!
Chả biết đúng hay sai. Làm bừa! =(((
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi a = 3
Ta có: \(VT=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{9}\right)+\frac{8a}{9}\ge2\sqrt{\frac{1a}{9a}}+\frac{8a}{9}\) (BĐT AM-GM)
\(=2\sqrt{\frac{1}{9}}+\frac{8a}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8a}{9}\ge\frac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}^{\left(đpcm\right)}\) (do \(a\ge3\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=3\)
Cách khác (không chắc)
Đặt a = 3 + m (\(m\ge0\))
Ta có: \(VT=3+m+\frac{1}{3+m}\ge3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}\) (do \(m\ge0\))
với 3 số a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c+ab+bc+ac=6abc
CMR : \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
với 3 số a,b,c là các số dương thỏa mãn : a+b+c+ab+bc+ac=6abc
cmr : \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Từ dk suy ra 1/bc+1/ac+1/ab+1/c+1/b+1/a=6 đặt 1/a=x;1/b=y;1/c=z→x+y+x+xy+yz+xz=6 ta phải cm x2+y2+z2>=3 Ta có:2(x2+y2+z2)>=2(xy+yz+xz) (1) (x-1)2>=0→x2>=2x-1 Tương tự :y2>=2y-1;z2>=2z-1 do đó :x2+y2+z2>=2(x+y+z)-3 (2) cộng vế 1 vs 2 ta có:3(x2+y2+z2)>=2(x+y+z+xy+yz+xz)-3 <=>3(x2+y2+z2)>=2.6-3 <=>x2+y2+z2>=3
mấy bác giải giúp e bài này với
cho a,b,c>0 và a+b+c=3
cmr: \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\)
\(------------------------\)
Từ bất đẳng thức cơ bản sau: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) thì ta rút ra một bất đăng thức mới có dạng như sau:
\(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2=9\)
nên \(ab+bc+ca\le3\) \(\left(i\right)\)
\(---------------------\)
Ta có:
\(\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{b^2+1}\ge a+1-\frac{b^2\left(a+1\right)}{2b}=a+1-\frac{b+ab}{2}\left(1\right)\)
Thiết lập tương tự các mối quan hệ như trên theo sơ đồ hoán vị \(b\rightarrow c\rightarrow a\) như sau:
\(\hept{\begin{cases}\frac{b+1}{c^2+1}\ge b+1-\frac{c+bc}{2}\left(2\right)\\\frac{c+1}{a^2+1}\ge c+1-\frac{a+ca}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) với lưu ý đã chứng minh ở \(\left(i\right)\) suy ra \(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge\frac{a+b+c}{2}+3-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3}{2}+3-\frac{3}{2}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)
Cho a,b>0 và ab=1 CMR \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}\ge3\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{a+b}\) . Do giả thiết cho \(ab=1\)
\(\Rightarrow\frac{a +b}{ab}+\frac{2}{a+b}=a+b+\frac{2}{a+b}=\frac{a+b}{2}+\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si: \(\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)
Ta có: \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}=1\)
Ta sẽ chứng minh BĐT phụ sau: với z >0 thì
\(z+\frac{1}{z}\ge2\Leftrightarrow\frac{z^2+1-2z}{z}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(z-1\right)^2}{z}\ge0\)
Áp dụng BĐT trên => \(\frac{a+b}{2}+\frac{2}{a+b}\ge2\) (khi a+b>0)Vậy \(a+b+\frac{2}{a+b}\ge3\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{a+b}\ge3\)