Cho x,y,z > 0 sao cho xyz = 1 và n là số nguyên dương
Chứng minh : \(\left(\frac{1+x}{2}\right)^n+\left(\frac{1+y}{2}\right)^n+\left(\frac{1+z}{2}\right)^n\ge3\)
Cho x, y, z là số dương thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng :
\(\left(\frac{1+x}{2}\right)^n+\left(\frac{1+y}{2}\right)^n+\left(\frac{1+z}{2}\right)^{^n}\ge3\)
\(VT=\left(\frac{1+x}{2}\right)^n+\left(\frac{1+y}{2}\right)^n+\left(\frac{1+z}{2}\right)^n\)
\(VT\ge\left(\frac{2\sqrt{x}}{2}\right)^n+\left(\frac{2\sqrt{y}}{2}\right)^n+\left(\frac{2\sqrt{z}}{2}\right)^n\)
\(VT\ge x^{\frac{n}{2}}+y^{\frac{n}{2}}+z^{\frac{n}{2}}\ge3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^{\frac{n}{2}}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
cho x,y,z là các số thực dương khác 1 và xyz=1. Chứng minh rằng \(\frac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)
dia chi ban vua truy cap khong tim thay
Vì xyz = 1 nên ta có thể đặt \(x=\frac{a^2}{bc};y=\frac{b^2}{ac};z=\frac{c^2}{ab}\left(a,b,c>0,a^2\ne bc,b^2\ne ac,c^2\ne ab\right)\)
Khi đó bất đẳng thức tương đương với
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
Mà ta có
\(\frac{a^4}{\left(a^2-bc\right)^2}+\frac{b^4}{\left(b^2-ac\right)^2}+\frac{c^4}{\left(c^2-ab\right)^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\)
Ta cần chứng minh
\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(a^2-bc\right)^2+\left(b^2-ab\right)^2+\left(c^2-ab\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
câu hỏi của bạn mình ko làm đc. với lại địa chỉ ko có
Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = xyz. Cmr:
\(A=\frac{\sqrt{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}-\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+z^2}}{xz}+\frac{\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}-\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}}{xy}=0\)
@Akai Haruma, Nguyen, Nguyễn Thị Ngọc Thơsvtkvtm
Bạn tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{1+x^2\left(y+z\right)}+\frac{1}{1+y^2\left(z+x\right)}+\frac{1}{1+z^2\left(x+y\right)}\le\frac{1}{xyz}\)
Ai giải hộ câu này nhanh đi mà
cho x,y,z là các số thực dương cmr
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)^4+\left(1+\frac{1}{y}\right)^4+\left(1+\frac{1}{z}\right)^4\ge3\left(1+\frac{3}{2+xyz}\right)^4\)
+1GP cho cách chứng minh bằng $\text{C-S}$ hoặc $\text{AM-GM}$ - Hãy thử ngay$!?$
Bài toán. Cho $x,y,z>0.$ Chứng minh: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{r}^{2}+\frac{1}{3}\,{p}^{2}+\frac{2}{3}\,{q}^{2}-\frac{1}{6} Q-\frac{3}{2} r-\frac{2}{3}q-\frac{1}{6}pq-\frac{5}{3} \,pr\geqslant 0$$
với $$\Big[p=x+y+z,q=xy+zx+yz,r=xyz,Q= \left( x-y \right) \left( y-z \right)
\left( z-x \right)\Big ]$$ (Xuất xứ: Sáng tác.)
Một cách chứng minh bằng SOS:
$$\text{VT} = \frac{1}{12}\,\sum \left( 3\,{z}^{2}+1 \right) \left( x-y \right) ^{2}+\frac{1}{6} \sum\,y
\left( y+z \right) \left( x-1 \right) ^{2}+\frac{1}{2}\, \left( xyz-1
\right) ^{2} \geqslant 0$$
Ngoài ra$,$ có cách chứng minh bằng Cauchy Schwarz:D Ai có thể tìm thấy nó$?$
Mới xem trên VMF về :))
Viết lại bất đẳng thức như sau:
\((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) \geqslant \frac{1}{6} \sum (x+yz+zx)^2 +\frac{1}{2} (x^2+y^2+z^2) +\frac{(xyz+1)^2}{2}\,\,\,(1)\)
Ta có:
\(\text{VT} = x^2 y^2 z^2 + \frac{1}{2} \sum (x^2+y^2 z^2 +z^2 x^2) +\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2) +1\)
\(\geqslant \frac{1}{6} \sum (x+yz+zx)^2 +\frac{1}{2} \Big[(x^2+y^2+z^2) +x^2 y^2 z^2 +(x^2 y^2 z^2 +1) +1\Big]\)
\(\geqslant \frac{1}{6} \sum (x+yz+zx)^2 +\frac{1}{2} (x^2+y^2+z^2) +\frac{(xyz+1)^2}{2}=\text{VP}\)
Cho x,y ,z là các số không thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng
P=\(\frac{1}{\left(x+1\right)^2+y^2+1}+\frac{1}{\left(y+1\right)^2+z^2+1}+\frac{1}{\left(z+1\right)^2+x^2+1}\)
1) Cho a, b, c > 0. CMR: \(a^2+b^2+c^2+abc+5\ge3\left(a+b+c\right)\)
2) Cho a, b, c > 0, đặt \(x=a+\frac{1}{b}\), \(y=b+\frac{1}{c}\), \(z=c+\frac{1}{a}\). Chứng minh rằng: \(xy+yz+zx\ge2\left(x+y+z\right)\)
3) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Chứng minh rằng: \(x^2+y^2+z^2+x+y+z\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
Giả sử x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=xyz. Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{1+x^2}+\frac{2y}{1+y^2}+\frac{3z}{1+z^2}=\frac{xyz\left(5x+4y+3z\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)