Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
tthnew

+1GP cho cách chứng minh bằng $\text{C-S}$ hoặc $\text{AM-GM}$ - Hãy thử ngay$!?$

Bài toán. Cho $x,y,z>0.$ Chứng minh: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{r}^{2}+\frac{1}{3}\,{p}^{2}+\frac{2}{3}\,{q}^{2}-\frac{1}{6} Q-\frac{3}{2} r-\frac{2}{3}q-\frac{1}{6}pq-\frac{5}{3} \,pr\geqslant 0$$
với $$\Big[p=x+y+z,q=xy+zx+yz,r=xyz,Q= \left( x-y \right) \left( y-z \right)
\left( z-x \right)\Big ]$$ (Xuất xứ: Sáng tác.)
Một cách chứng minh bằng SOS:

$$\text{VT} = \frac{1}{12}\,\sum \left( 3\,{z}^{2}+1 \right) \left( x-y \right) ^{2}+\frac{1}{6} \sum\,y
\left( y+z \right) \left( x-1 \right) ^{2}+\frac{1}{2}\, \left( xyz-1
\right) ^{2} \geqslant 0$$
Ngoài ra$,$ có cách chứng minh bằng Cauchy Schwarz:D Ai có thể tìm thấy nó$?$

Trần Minh Hoàng
10 tháng 7 2020 lúc 10:53

Mới xem trên VMF về :))

Viết lại bất đẳng thức như sau:

\((x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) \geqslant \frac{1}{6} \sum (x+yz+zx)^2 +\frac{1}{2} (x^2+y^2+z^2) +\frac{(xyz+1)^2}{2}\,\,\,(1)\)

Ta có:

\(\text{VT} = x^2 y^2 z^2 + \frac{1}{2} \sum (x^2+y^2 z^2 +z^2 x^2) +\frac{1}{2}(x^2+y^2+z^2) +1\)

\(\geqslant \frac{1}{6} \sum (x+yz+zx)^2 +\frac{1}{2} \Big[(x^2+y^2+z^2) +x^2 y^2 z^2 +(x^2 y^2 z^2 +1) +1\Big]\)

\(\geqslant \frac{1}{6} \sum (x+yz+zx)^2 +\frac{1}{2} (x^2+y^2+z^2) +\frac{(xyz+1)^2}{2}=\text{VP}\)


Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
Lê Thanh Hân
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Văn Thắng Hồ
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Khởi My
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết