Ta chứng minh

\(a+b\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\ge0\)(đúng )

Áp đụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+1}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)

đặt x=a/b , y=b/c , z=c/a 

Giải:

Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\left(abc=1\right)\) ta có:

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\) do \(a+b>0\) và \(a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+1\ge\left(a+b\right)ab+abc=ab\left(a+b+c\right)>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng theo vế ta có:

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

\(\le\frac{1}{\left(a+b+c\right)}\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{1}{\left(a+b+c\right)}\left(c+a+b\right)=1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1

ui, đề thi HSG huyện mình nè. cậu huyện nào mà đăng thế

chứng minh BĐT : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)\) với a>0,b>0

\(\Rightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)

áp dụng BĐT trên,ta có:

\(x+y+1\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}+\frac{1}{\sqrt[3]{xz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{xyz}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)}=1\)

Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 1

Ap dung bdt \(a+b\ge\sqrt[3]{a^2b}+\sqrt[3]{ab^2}\left(a,b\ge0\right)\)

ta co \(x+y\ge\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)\)

ma \(xyz=1=>\sqrt[3]{xy}=\frac{1}{\sqrt[3]{z}}\)

nen \(x+y\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{z}}\)

=> \(x+y+1\ge\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{z}}\)

=>\(\frac{1}{x+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)

chung minh tuong tu cung co \(\frac{1}{x+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\) va \(\frac{1}{z+y+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}\)

cong 3 bdt cung chieu ta duoc

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{x+z+1}+\frac{1}{y+z+1}\le\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)

dau = xay ra khi x=y=z=1

Chuc ban hoc tot !!!

Câu này em thấy có gì hay đâu mà sao năm nào cũng có huyện đăng làm đề thi HSG nhỉ? Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

Rồi áp dụng BĐT \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) là ra!

Anh Thanh Tùng DZ nhầm dòng 2 thì phải:)

vì 0<x,y,z\(\le\)1 nên (1-x)(1-y) >=0 <=> 1+xy >= x+y

<=> 1+z+xy >= x+y+z

<=> \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{y}{x+y+z}\left(1\right)\)

tương tự có \(\frac{x}{1+y+xz}\le\frac{x}{x+y+z}\left(2\right);\frac{z}{1+x+xy}\le\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)

cộng theo vế của (1), (2), (3) ta được

\(\frac{x}{1+y+xz}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{x+y+z}{x+y+z}\le\frac{3}{x+y+z}\)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

\(\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\text{Σ}\frac{x}{x^2+xy+zx}=\text{Σ}\frac{x}{x\left(x+y+z\right)}=\frac{3}{x+y+z}\)

Do \(1\ge x^2\)và \(y\ge xy\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1

Xét biểu thức:\(\frac{x}{1+y+zx}-\frac{1}{x+y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)-\left(1+y+zx\right)}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{x^2+xy-1-y}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+1\right)\left(x-1\right)}{\left(1+y+zx\right)\left(x+y+z\right)}\le0\)(Đúng vì \(x,y,z>0;x\le1\))

\(\Rightarrow\frac{x}{1+y+zx}\le\frac{1}{x+y+z}\)

Tương tư, ta có: \(\frac{y}{1+z+xy}\le\frac{1}{x+y+z}\); \(\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{1}{x+y+z}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{x}{1+y+zx}+\frac{y}{1+z+xy}+\frac{z}{1+x+yz}\le\frac{3}{x+y+z}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Ta có

\(\frac{1}{1+x+xy}=\frac{1}{1+x+\frac{1}{z}}=\frac{z}{z+xz+1}\)

\(\frac{1}{1+y+yz}=\frac{1}{1+\frac{1}{xz}+yz}=\frac{xz}{xz+1+z}\)

Từ đó ta có

A = \(\frac{z}{1+z+xz}+\frac{xz}{1+z+xz}+\frac{1}{1+z+xz}\)

= \(\frac{1+z+xz}{1+z+xz}=\:1\)

\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\\z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(xyz\right)^2}=1\Rightarrow xyz=\pm1\)(đpcm)

Với 2 số dương bất kì: ( 1 )

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)Vì x và y dương nên \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\forall x;y\)

Áp dụng ( 1 ): \(\frac{4}{2x+y+z}=\frac{4}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Mà: \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{4}\)\(=\frac{1}{4}\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Nên: \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Và \(\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức kết hợp với điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\) nên ta có đpcm

Ta có: \(xyz=1\)=>\(xy=\frac{1}{z}\)
Theo BĐT cosy, ta có: \(x+y+1\ge3\sqrt[3]{xy}=3\sqrt[3]{\frac{1}{z}}=\frac{3}{3\sqrt[3]{z}}\)
tương tự:\(y+z+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x}}=\frac{3}{\sqrt[3]{x}}\)
               \(z+x+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{y}}=\frac{3}{\sqrt[3]{y}}\)
              => \(Q\le\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{z}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{x}}}+\frac{1}{\frac{3}{\sqrt[3]{y}}}=\frac{\sqrt[3]{z}}{3}+\frac{\sqrt[3]{x}}{3}+\frac{\sqrt[3]{y}}{3}=\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}{3}\)
Áp dụng BĐT trên lần nữa ta được \(Q\le\frac{3\sqrt[3]{\sqrt[3]{xyz}}}{3}=\frac{3}{3}=1\)
Vậy DTLN của Q=1
dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

Ta có đánh giá sau: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thật vậy, biến đổi tương đương:

\(a^3-a^2b-\left(ab^2-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(VT=\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}=\sum\frac{abc}{a^3+b^3+abc}\le\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=1\Rightarrow\left(x;y;z\right)=1\)

Lời giải:

Do $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=(\frac{a^2}{bc}, \frac{b^2}{ac}, \frac{c^2}{ab})\)

Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)

Xét hiệu \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\geq ab(a+b+c)\Rightarrow \frac{abc}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{abc}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{abc}{b^3+c^3+abc}\leq \frac{a}{a+b+c};\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được :

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

Đặt \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

Đặt vế trái là P \(\Rightarrow P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(P\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(P\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)