Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
Ta có đánh giá sau: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy, biến đổi tương đương:
\(a^3-a^2b-\left(ab^2-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(VT=\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}=\sum\frac{abc}{a^3+b^3+abc}\le\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=1\Rightarrow\left(x;y;z\right)=1\)
Lời giải:
Do $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=(\frac{a^2}{bc}, \frac{b^2}{ac}, \frac{c^2}{ab})\)
Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)
Xét hiệu \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\geq ab(a+b+c)\Rightarrow \frac{abc}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{abc}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\frac{abc}{b^3+c^3+abc}\leq \frac{a}{a+b+c};\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế các BĐT vừa thu được :
\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$
