Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
chú tuổi gì

Cho 3 số thực dươi x,y,z biết xyz=1

Cmr \(\frac{1}{x^2+y^2+1}+\frac{1}{x^2+z^2+1}+\frac{1}{y^2+z^2+1}\le1\)

Nguyễn Việt Lâm
6 tháng 9 2020 lúc 16:46

Đặt \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

Đặt vế trái là P \(\Rightarrow P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(P\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(P\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)


Các câu hỏi tương tự
Đẹp Trai Không Bao Giờ S...
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Thu Hien Tran
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Đặng Thị Thanh Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Lan
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Bảo Quang
Xem chi tiết
hello sunshine
Xem chi tiết