a) Xét tam giác ACB, có CO là trung tuyến. Lại có \(CO=OA=OB=\frac{AB}{2}\), vậy nên tam giác ACB vuông lại C.

b) Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(\sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{CAB}=30^o\)

Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(cos\widehat{CAB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=R\sqrt{3}\)

Xét tam giác vuông ABD, ta có:

\(\tan\widehat{DAB}=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=\frac{2\sqrt{3}R}{3}\)

c) Ta thấy ngay tam giác BCD vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm cạnh huyền.

Vậy O' là trung điểm BD.

Xét tam giác OCO' và OBO' có:

O'C = O'B (gt)

OC = OB (= R)

OO' chung

\(\Rightarrow\Delta OCO'=\Delta OBO'\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{O'CO}=\widehat{OBO'}=90^o\)

Vậy nên O'C là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lại có AB vuông góc với O'B tại B nên AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O').

d) Gọi H là hình chiếu của I trên OB.

\(AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\frac{4R\sqrt{3}}{3}\)

Ta có hai công thức tính diện tích tam giác:

Công thức Hê-rông: \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, p là nửa chu vi

\(S=pr\) với r bán kính đường tròn nội tiếp.

Vậy nên \(r=\sqrt{\frac{\left(p-AB\right)\left(p-BD\right)\left(p-AD\right)}{p}}\)

\(p=\frac{AD+DB+BA}{2}=\left(1+\sqrt{3}\right)R\)

Vậy thì:

\(r=R\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

Thấy ngay IH = r.

Xét tam giác HIB có góc H vuông, \(\widehat{IBH}=45^o\)  (Do BI là phân giác góc vuông)

Vậy nên \(IH=HB=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

\(\Rightarrow OH=R-HB=\frac{R\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác vuông OIH, ta có: 

\(OI=\sqrt{OH^2+IH^2}=R\sqrt{\frac{5-2\sqrt{3}}{3}}\)

a) Xét tam giác ACB, có CO là trung tuyến. Lại có \(CO=OA=OB=\frac{AB}{2}\), vậy nên tam giác ACB vuông lại C.

b) Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(\sin\widehat{CAB}=\frac{BC}{BA}=\frac{1}{2}\Rightarrow\widehat{CAB}=30^o\)

Xét tam giác vuông ACB, ta có:

\(cos\widehat{CAB}=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AC=R\sqrt{3}\)

Xét tam giác vuông ABD, ta có:

\(\tan\widehat{DAB}=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow BD=\frac{2\sqrt{3}R}{3}\)

c) Ta thấy ngay tam giác BCD vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD là trung điểm cạnh huyền.

Vậy O' là trung điểm BD.

Xét tam giác OCO' và OBO' có:

O'C = O'B (gt)

OC = OB (= R)

OO' chung

\(\Rightarrow\Delta OCO'=\Delta OBO'\left(c-c-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{O'CO}=\widehat{OBO'}=90^o\)

Vậy nên O'C là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Lại có AB vuông góc với O'B tại B nên AB là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O').

d) Gọi H là hình chiếu của I trên OB.

\(AD=\sqrt{AB^2+BD^2}=\frac{4R\sqrt{3}}{3}\)

Ta có hai công thức tính diện tích tam giác:

Công thức Hê-rông: \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác, p là nửa chu vi

\(S=pr\) với r bán kính đường tròn nội tiếp.

Vậy nên \(r=\sqrt{\frac{\left(p-AB\right)\left(p-BD\right)\left(p-AD\right)}{p}}\)

\(p=\frac{AD+DB+BA}{2}=\left(1+\sqrt{3}\right)R\)

Vậy thì:

\(r=R\sqrt{\frac{4-2\sqrt{3}}{3}}=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

Thấy ngay IH = r.

Xét tam giác HIB có góc H vuông, \(\widehat{IBH}=45^o\)  (Do BI là phân giác góc vuông)

Vậy nên \(IH=HB=\frac{3-\sqrt{3}}{3}R\)

\(\Rightarrow OH=R-HB=\frac{R\sqrt{3}}{3}\)

Xét tam giác vuông OIH, ta có: 

\(OI=\sqrt{OH^2+IH^2}=R\sqrt{\frac{5-2\sqrt{3}}{3}}\)

thiếu cái hình:v

a, HS tự làm

b, HS tự làm

c, Chú ý hình thang vuông OEFO’ và xét đường trung bình của hình thang này

d, Từ I kẻ đường thảng song song với EF cắt OE tại M , cắt O’F tại N

Đặt BH=2R; CH= 2R’

∆IOM vuông tại M có:

I M 2 = I O 2 - O M 2 =  R + r 2 - R - r 2 = 4 R r

Tương tự , ∆ION có  I N 2 = 4 R ' r

Suy ra IM+IN=EF=AH

Vậy  2 R r + 2 R ' r = 2 R R '

=>  r R + R ' = R R '

=> r =  R R ' R + R ' 2

Tham khảo:

Ta có: \(R=\dfrac{abc}{4S};r=\dfrac{S}{p}\)

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(b=c\) và \(a=\sqrt{b^2+c^2}=b\sqrt{2}\)

Xét tỉ số:

\(\dfrac{R}{r}=\dfrac{abc.p}{4S^2}=\dfrac{abc.\dfrac{a+b+c}{2}}{4.\dfrac{1}{4}.\left(b.c\right)^2}=\dfrac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}=\dfrac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2}\)

\(\dfrac{R}{r}=\dfrac{abc.p}{4S^2}=\dfrac{abc.\dfrac{a+b+c}{2}}{4.\dfrac{1}{4}\left(b.c\right)^2}=\dfrac{a.b^2\dfrac{\left(a+2b\right)}{2}}{b^4}=\dfrac{a.b^2\left(a+2b\right)}{2b^4}=\dfrac{a\left(a+2b\right)}{2b^2}\)

\(=\dfrac{b\sqrt{2}\left(b\sqrt{2}+2b\right)}{2b^2}=\dfrac{b^2\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+2\right)}{2b^2}=\dfrac{2b^2\left(1+\sqrt{2}\right)}{2b^2}=1+\sqrt{2}\)

Có câu trả lời là được mà

Kiểm tra lại đề nha bạn. Chắc chắn là thiếu giả thiết rồi đó.