Ta chứng minh với x,y,z > 0 thì:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\) (*)

Vì \(VT\circledast=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}+2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}=3+2+2+2=9\)

Vậy (*) đúng. Dấu "=" khi a = b = c

Áp dụng ta có:

\(A=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{1+x+1+y+1+z}=\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" khi x = y = z = 1

Ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\frac{1}{1+x}\ge-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{4\left(x+1\right)}\ge0\) (đúng với mọi x > 0)

Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:

\(A\ge-\frac{1}{4}\left(x+y+z\right)+\frac{9}{4}\ge-\frac{1}{4}.3+\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\)

Vậy min A = 3/2 khi x = y = z =1

Áp dụng bất đẳng thức  \(AM-GM\)  lần lượt cho từng bộ số gồm có  \(\left[\left(1+x\right);\left(1+y\right);\left(1+z\right)\right]\)  và  \(\left[\left(\frac{1}{1+x}\right);\left(\frac{1}{1+y}\right);\left(\frac{1}{1+z}\right)\right]\) , ta có:

\(\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)  \(\left(1\right)\)

\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}\)  \(\left(2\right)\)

Nhân từng vế của bất đẳng thức  \(\left(1\right)\)  với bđt  \(\left(2\right)\), ta được:

\(\left[\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)\right]\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\ge9\)

nên  \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{\left(1+x\right)+\left(1+y\right)+\left(1+z\right)}=\frac{9}{3+\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)  (do  \(x,y,z>0\)  và  \(x+y+z\le3\)) 

Dấu  \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(^{1+x=1+y=1+z}_{x+y+z=3}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(^{x=y=z}_{x+y+z=3}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=1\)

Vậy,  \(A_{min}=\frac{3}{2}\)   \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=1\)

Dự đoán \(M\) đạt min tại mỗi biến bằng \(\frac{2}{3}\).

Nên ta viết lại \(M=\left(x+\frac{4}{9x}\right)+\left(y+\frac{4}{9y}\right)+\frac{5}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho hai lượng đầu và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(M\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{x+y}\ge\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{9}.\frac{4}{\frac{4}{3}}=\frac{13}{3}\)

Tham khảo bài 8 trong link: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath

Tham khảo link này : https://olm.vn/hoi-dap/detail/223163065606.html

Tham khảo bài 8 trong link : https://olm.vn/hoi-dap/detail/223163065606.html

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow Q.E.D\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b

\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)

Giải:

Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1) 

Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2) 

Cộng (1), (2) theo vế ta được:

\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)

\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)

Min_P = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1