a: \(\text{Δ}=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-1\right)\)

\(=4m^2-4m+1-4m+4=4m^2-8m+5\)

\(=\left(4m^2-8m+4\right)+5=4\left(m-1\right)^2+5>0\)

=>Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m-1<0

hay m<1

a)Ta có:
`\Delta'`
`=(m+1)^2-6m+4`
`=m^2+2m+1-6m+4`
`=m^2-4m+5`
`=(m-2)^2+1>=1>0(AA m)`
`=>`phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Câu b đề không rõ :v

a: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(2m-5\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+20\)

\(=4m^2-16m+24\)

\(=4m^2-16m+16+8=\left(2m-4\right)^2+8>0\)

Vậy: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b: Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu thì 2m-5>0

hay m>5/2

+) Cho pt: 2x² + mx + m - 3 = 0. Chứng minh rằng pt có 2 nghiệm phân biệt

Ta có: \(a=2;b=m;c=m-3.\)
\(\text{Δ}=b^2-4ac=m^2-4.2.\left(m-3\right)=m^2-8m+24-\left(m-4\right)^2+8\)

=> đpcm

+) Cho pt: x² - 2(2m-1)x + 3m² - 4 = 0. Chứng minh rằng pt luôn có nghiệm với mọi m;  Tìm m để x_1² + x_2² - x₁x₂ = 5 (*)

Ta có: \(a=1;b'=-\left(2m-1\right);c=3m^2-4\)

\(\text{Δ′}=-\left(2m-1\right)^2-1.\left(3m^2-4\right)=4m^2-4m+1-3m^2+4=m^2-4m+5=\left(m-2\right)^2+1\)

=> Pt có nghiệm với mọi m

ta lại có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m-1\left(1\right)\\x_1x_2=\frac{c}{a}=3m^2-4\left(2\right)\end{cases}}\)

(*)\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2=5\)

    thay (1) và (2) vào (*) ta có: 

\(\left(2m-1\right)^2-3\left(3m^2-4\right)=5\)

\(\Leftrightarrow4m^2-4m+1-9m^2+12=5\)

\(\Leftrightarrow5m^2+4m-8=0\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=\frac{-2+2\sqrt{11}}{2}\\m=\frac{-2-2\sqrt{11}}{2}\end{cases}\)

Vậy \(m=\frac{-2+2\sqrt{11}}{2}\)hoặc \(m=\frac{-2-2\sqrt{11}}{2}\)thoả mãn x_1² + x_2² - x₁x₂ = 5

(Câu này mình nghĩ là tìm m để  x_1² + x_2² + x₁x₂ = 5 thì đúng hơn, nếu đúng thì bạn bình luận để mình làm nhé!)

Học tốt nhé!

Ptr có: `\Delta'=b'^2-ac=[-(m-1)]^2-(m-3)`

                                  `=m^2-2m+1-m+3`

                                  `=m^2-3m+4`

                                  `=m^2-2.m. 3/2+9/4+7/4`

                                  `=(m-3/2)^2+7/4 > 0 AA m`

    `=>\Delta' > 0 AA m`

Vậy ptr luôn có `2` `n_o` pb với mọi `m`

​\(\Delta'=m^2+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1+\sqrt{m^2+1}\\x_2=m+1-\sqrt{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

(Do \(m+1-\sqrt{m^2+1}< \sqrt{m^2+1}+1-\sqrt{m^2+1}< 4\) nên nó ko thể là nghiệm \(x_1\))

Từ điều kiện \(x_1\ge4\Rightarrow m+1+\sqrt{m^2+1}\ge4\Rightarrow\sqrt{m^2+1}\ge3-m\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m^2+1\ge m^2-6m+9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge\dfrac{4}{3}\)

​​Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2=9x_2+10\Leftrightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=9x_2+10\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9x_2+10\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9\left(2\left(m+1\right)-x_1\right)+10\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+11\right)x_1=20m+28\Rightarrow x_1=\dfrac{20m+28}{2m+11}\) 

\(\Rightarrow x_2=2\left(m+1\right)-x_1=\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\)

Thế vào \(x_1x_2=2m\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{20m+28}{2m+11}\right)\left(\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\right)=2m\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-4\right)\left(12m^2+40m+21\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\) (do \(12m^2+40m+21>0;\forall m\ge\dfrac{4}{3}\))

a: Khi m=1/2 thì \(x^2-2x-\dfrac{1}{4}-4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-\dfrac{17}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-8x-17=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-2\right)^2=21\)

hay \(x\in\left\{\dfrac{\sqrt{21}+2}{2};\dfrac{-\sqrt{21}+2}{2}\right\}\)

b: \(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\left(-m^2-4\right)\)

\(=4+4m^2+16=4m^2+20>0\)

Do đó: Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta có \(\Delta =(2m-3)^2-4(m^2-3m)=4m^2-12m+9-4m^2+12m=9>0\forall m\) .

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Cái này phân tích đề ra là lm được bạn nhé