$\rm x=1\\\to ax^2+bx+c=a+b+c=0\\\to x=1\,\là \,\,no \,\pt$

`x=-1=>ax^2+bx+c=a-b+c=0`

\(P\left(2\right)=4a+2b+c=2\left(5a+b+2c\right)-6a-3c=-6a-3c\)

\(P\left(-1\right)=a-b+c=-\left(5a+b+2c\right)+6a+3c\)

\(\Rightarrow P\left(2\right).P\left(-1\right)=\left(-6a-3c\right)\left(6a+3c\right)=-\left(6a+3c\right)^2\le0\) (đpcm)

\(a=1,b=6,c=1\)

\(5a-b+c=5-6+1=0\)

\(P\left(1\right).P\left(3\right)=\left(1.1^2+6.1+1\right).\left(1.3^2+6.3+1\right)>0?\)

Thay x = 1 vào đa thức ax2 + bx + c, ta có:

a.12 + b.1 + c = a + b + c

Vì a + b + c = 0 nên a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a + b + c = 0

Thay x = 1 vào đa thức ax2 + bx + c, ta có:

a.12 + b.1 + c = a + b + c

Vì a + b + c = 0 nên a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a + b + c = 0

Thay x = 1 vào đa thức ax2 + bx + c,

ta có: a.12 + b.1 + c = a + b + c Vì a + b + c = 0 nên a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a + b + c = 0

Cho `x=0`

`=> f(0) = a.0^2 + b.0 + c`

`=> f(0) = c`

Mà tại `x=0` thì `f(x)` là số nguyên do đó `c` là số nguyên

Cho `x=1`

`=> f(1) = a.1^2 + b.1+c`

`=> f(1)= a+b+c`  (1) 

Mà tại `x=1` thì `f(x)` là số nguyên do đó a+b+c là số nguyên, mặt khác c là số nguyên nên `a+b` là số nguyên

Cho `x= -1`

`=> f(-1) = a.(-1)^2 + b.(-1)+c`

`=> f(-1) = a -b+c` (2)

Từ `(1)` và `(2)`

`=>f(1) + f(-1) =  a+b+c + a-b+c`

`= 2a + 2c` là số nguyên do `f(1)` và `f(-1)` là những số nguyên

Mà `c` là số nguyên nên `2c` là số nguyên

`=> 2a` là số nguyên

Vậy `2a ; a+b ,c` là những số nguyên

3x2 + 8x + 2 = 0

Có a = 3; b' = 4; c = 2

⇒ Δ’ = 42 – 2.3 = 10 > 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Thay x = -1 vào đa thức ax2 + bx + c, ta có:

a.(-1)2 + b.(-1) + c = a – b + c

Vì a – b + c = 0 ⇒ a.(-1)2 + b.(-1) + c = a – b + c = 0

Vậy x = -1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a – b + c = 0

Thay x = 1 vào đa thức ax2 + bx + c, ta có:

a.12 + b.1 + c = a + b + c

Vì a + b + c = 0 nên a.12 + b.1 + c = a + b + c = 0

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức ax2 + bx + c khi a + b + c = 0

* Chứng minh:

Phương trình a x 2   +   b x   +   c   =   0 có hai nghiệm  x 1 ;   x 2

⇒ Theo định lý Vi-et: 

Khi đó : a.(x – x1).(x – x2)

= a.(x2 – x1.x – x2.x + x1.x2)

= a.x2 – a.x.(x1 + x2) + a.x1.x2

= 

=   a . x 2   +   b x   +   c   ( đ p c m ) .

* Áp dụng:

a)  2 x 2   –   5 x   +   3   =   0

Có a = 2; b = -5; c = 3

⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0

⇒ Phương trình có hai nghiệm 

Vậy: 

b)  3 x 2   +   8 x   +   2   =   0

Có a = 3; b' = 4; c = 2

⇒  Δ ’   =   4 2   –   2 . 3   =   10   >   0

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

P/s : Easy mà bạn :

Ta có : 

\(P\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P\left(-1\right)=a.\left(-1\right)^2+b.\left(-1\right)+c\\P\left(3\right)=a.3^2+b.3+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}P\left(-1\right)=a-b+c\\P\left(3\right)=9a+3b+c\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P\left(3\right)-P\left(-1\right)=9a+3b+c-\left(a-b+c\right)\)

\(\Rightarrow P\left(3\right)-P\left(-1\right)=8a+4b\)

\(\Rightarrow P\left(3\right)-P\left(-1\right)=4\left(2a+b\right)\)

\(\Rightarrow P\left(3\right)-P\left(-1\right)=4.0=0\)

\(\Rightarrow P\left(3\right)=P\left(-1\right)\)

\(\Rightarrow\)

\(P\left(3\right).P\left(-1\right)=P\left(3\right).P\left(3\right)=\left[P\left(3\right)\right]^2\ge0\)

\(\left(Đcpm\right)\)