Áp dụng định lí Ta-lét đảo, ta có AD, MN, BD’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song.

=> M  song song với mặt phẳng (P) chứa BD’ và song song với AD.

Nên MN//(BCD’A’) hayMN//(A’BC).

Chọn đáp án A

Đáp án A

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho  ∆  có VTCP  u →  và qua M;  ∆ ' có VTCP  v →  và qua M’

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

A'(0;0;0), B'(0;a;0), C'(a;a;0), D'(a;0;0)

A(0;0;a), B(0;a;a), C(a;a;a); D(a;0;a), M(a/2;a;a)

Đường thẳng AM có VTCP  và qua A(0;0;a)

Đường thẳng DB’ có VTCP  và qua D(a;0;a)

A D   → = ( a ; 0 ; 0 )

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và DB’: 

Ta có:

Vây, khoảng cách giữa AM và DB’ là  a 2 7  

Đáp án D

Chọn hệ trục với D 0 ; 0 ; 0 , A a ; 0 ; 0 , A ' a ; 0 ; a , K 0 ; 0 ; a 2 , C 0 ; a ; 0  

Khi đó  D A ' → = a ; 0 ; a , K C → 0 ; a ; - a 2 ⇒ D A ' → ; K C → = a 2 2 2 ; - 1 ; - 2

Phương trình mặt phẳng qua C (chứa CK) và song song với DA’ là (P):2x - y - 2z + a = 0 

Khi đó d C K ; A ' D = d D ; P = a 3 .

Đáp án A

Kẻ:

M H ⊥ A D ⇒ M H = A H = x 2 2 ⇒ H D = a − x 2 2

Tam giác HND có

H N 2 = D N 2 − 2 D N . H D . c o s 2 N D H ^

= a − x 2 2 2 + x 2 − 2 x a − x 2 2 = 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2

Vì:

M H ⊥ A D ⇒ M H / / A A ' ⇒ M H ⊥ A B C D ⇒ M H ⊥ H N

Tam giác MHN vuông tại H, có  M N 2 = M H 2 + H N 2

= x 2 2 2 + 5 2 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 3 x 2 − 2 2 a x + a 2 = 1 3 x − a 2 3 2 + a 2 3 ≥ a 2 3 ⇒ M N ≥ a 3 3 ⇒ M N min = a 3 3

Dấu “=” xảy ra khi  x = a 2 3

Đáp án A

Chi tiết \(BM=DN=\dfrac{a}{3}\) hoàn toàn không cần thiết

a.

Ta có: \(AC\perp BD\) tại O (2 đường chéo hình vuông) \(\Rightarrow O\) thuộc đường tròn đường kính AB

\(AH\perp BH\) (gt) \(\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AB

\(\Rightarrow\) 4 điểm A,B,O,H cùng thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác ABHO nội tiếp

Hoàn toàn tương tự, 4 điểm ADKO cùng thuộc đường tròn đường kính AD nên tứ giác ADKO nội tiếp

b.

Trong tam giác vuông ABM vuông tại B với đường cao BH, áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=AH.AM\)

Tương tự, trong tam giác vuông ADN:

\(AD^2=AK.AN\)

Mà \(AB=AD=a\Rightarrow AH.AM=AK.AN\Rightarrow\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AK}{AM}\) (đpcm)