tìm giá trị lớn nhất biết a,b,c >0 \(a^2+b^2+c^2=3\)
\(M=\frac{ab}{\sqrt{5a^2+10ab+10b^2}}+\frac{bc}{\sqrt{5b^2+10bc+10c^2}}+\frac{ca}{\sqrt{5c^2+10ca+10a^2}}\)
C/m BĐT : \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
\(\frac{c+a}{\sqrt{a^2+c^2}}\ge\frac{c+b}{\sqrt{c^2+b^2}};a>b>0,c>\sqrt{ab}\)
Bài 1: Cho a,b>0. Chứng minh \(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}< \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\)
Bài 2: Cho a,b>0. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}\)
Bài 3: Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
Ôn tập Bất đẳng thức
1 , Cho a,b,c<3 thỏa mãn abc(a+b+c)=3 . Tìm GTNN của C= \(\frac{a}{\sqrt{9-b^2}}+\frac{b}{\sqrt{9-c^2}}+\frac{c}{\sqrt{9-a^2}}\)
2, Cho a,b,c>0 thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\)
Chứng minh a, \(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le1\)
b, \(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}\ge a+b+c\)
3, Cho a,b,c >0 và \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1\)
Tính GTLN của P= \(\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\)
4 , Cho a,b,c>0 và \(ab+bc+ca\ge a+b+c\)
Chứng minh \(\frac{a^2}{\sqrt{a^3+8}}+\frac{b^2}{\sqrt{b^3+8}}+\frac{c^2}{\sqrt{c^3+8}}\ge1\)
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
Cho a, b, c dương và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{2}\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
Cần chứng minh: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
Thật vậy: \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow4\left(a^2-ab+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4ab+4b^2-a^2-b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng:\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}\)
\(\le\frac{1}{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}+\frac{1}{\frac{1}{2}\left(c+a\right)}=2\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn \(15\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)=10\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)+2007\) .Tìm GTNN của \(P=\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}+\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}+\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ac+2a^2}}\)
Mẫu thức như vầy thì tìm max còn được chứ tìm min sao nổi bạn?
\(15\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)+30\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=40\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2007\)
\(\Leftrightarrow15\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=40\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+2007\)
\(\Leftrightarrow15\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le\frac{40}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2+2007\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\le2007\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\sqrt{\frac{6021}{5}}\)
Ta có:
\(5a^2+2ab+2b^2=4a^2+2ab+b^2+a^2+b^2\ge4a^2+2ab+b^2+2ab=\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}=\frac{1}{a+a+b}+\frac{1}{b+b+c}+\frac{1}{c+c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\sqrt{\frac{6021}{5}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=3\sqrt{\frac{5}{6021}}\)
Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a+b+c=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(P=\frac{a}{\sqrt{b^3+5b^2-3b+18}}+\frac{b}{\sqrt{c^3+5c^2-3c+18}}+\frac{c}{\sqrt{a^3+5a^2-3a+18}}\)
Bài 1:Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\)
Bài 2: Cho 3 số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\right)+a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+2020\)
Bài 1: Ta có \(\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)+b^2=\frac{a^2-ab+b^2}{b}+b\ge2\sqrt{a^2-ab+b^2}\) (áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi)
\(=\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b}-a+2b\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{c}-b+2c\ge\sqrt{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{2}\left(b+c\right)\left(2\right)\\\frac{c^2}{a}-c+2a\ge\sqrt{c^2-ac+a^2}+\frac{1}{2}\left(a+c\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
Từ (1) và (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìn giá trị lớn nhất của \(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\)
Ta có BĐT phụ \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{b\left(a+3b\right)}\le0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(P\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c=3\)
Dấu '=" khi \(a=b=c=1\)
Xét \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}-\left(2b-a\right)=\frac{5a^3-a^3-\left(ab+3b^2\right)\left(2b-a\right)}{ab+3b^2}\)
\(=\frac{5b^3-a^3-\left(2ab^2-a^2b+6b^3-3b^2a\right)}{ab+3b^2}=\frac{-b^5-a^3+a^2b+b^2a}{ab+3b^2}\)
\(=\frac{-\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{ab+3b^3}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
Ta có 2 BĐT tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\\\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\end{cases}}\)
Cộng 3 vế BĐT trên ta được \(P\le2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
Cho a, b, c dương và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{2}\) . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}}\)
Áp dụng :
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)