a, \(\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\)a^2+2ab+b^2>=4ab

\(\Leftrightarrow\)a^2-2ab+b^2>=0

\(\Leftrightarrow\)(a-b)^2>=0 (luôn đúng)

b,\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2\ge0\) 

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) luôn đúng

Ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta có:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

CHÚC BẠN HỌC TỐT........

ta có : \(\left(a-b-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\forall a;b;c\)

vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) với mọi \(a;b;c\) (đpcm)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c\)

tử vế phải là 3 hay 2 vậy bạn.

a) đề sai à bạn 4/a+b chứ

b)Theo BĐT Côsi:

\(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\left(\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}\right)}=2b\)

Tương tự ta có:

\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge2c\)

\(\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge2a\)

Cộng vế với vế của 3 bđt trên rồi chia 2 vế bđt thu được cho 2 ta có ngay đpcm. 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

a) Nếu k có điều kiện a, b > 0 thì bất đẳng thức k thể xảy ra

b) Ta có : \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2b\)

  \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2a\)

   \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2c\)

Cộng 2 vế của bất đẳng thức ta được :

\(2.\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\ge2.\left(a+b+c\right)\)

=> bất đẳng thức cần chứng minh

a) bn sai đề nhé,đề đúng là : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) > \(\frac{4}{a+b}\) nhé,vì mk làm rồi

Giả sử  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) > \(\frac{4}{a+b}\)

=> \(\frac{a+b}{ab}\) > \(\frac{4}{a+b}\)

=>\(\left(a+b\right)\left(a+b\right)\) > 4ab

=>\(\left(a+b\right)^2-4ab\) > 0

=>\(a^2+2ab+b^2-4ab\) > 0

=>\(a^2-2ab+b^2\) > 0

=>\(\left(a-b\right)^2\) > 0

BĐT cuối luôn đúng với mọi a;b

=>điều giả sử là đúng,ta có đpcm

(*)đề sai nên Kiệt ko ra là phải

mình nháp mãi sao ko ra nhỉ ?

-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.