xét tam giác ABD và tam giác ACD có:

AB=AC

AD(chung)

BAD=CAD(gt)

suy ra tam giác ABD=ACD(c.g.c)

suy ra _ADB=ADC mà ADC+ADB=180 suy ra ADC=ADB=180/2=90

         |

          -DB=DC=1/2BC=5cm

vì AD là 1 đường trung tuyến của tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GD=1/3AD

ta có:\(AD^2=AB^2-BD^2=13^2-5^2=169-25=144\) 

\(AD=\sqrt{144}=12\left(cm\right)\)

GD=1/3AD=1/3x12=4(cm)

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

AE=ED phải không bạn?

Đề bài phải sửa thành AE=ED

a/

Xét tg ABC

DE//AB (gt)

BD=CD (gt)

=> AE=CE (trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại) (1)

Mà DE=AE (gt) (2)

Từ (1) và (2) => DE=AE=CE (3)

Ta có

BD=CD (gt); AE=CE (cmt) => DE là đường trung bình của tg ABC

\(\Rightarrow DE=\dfrac{AB}{2}\) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow DE=AE=CE=\dfrac{AB}{2}\)

\(\Rightarrow AE+CE=AB\) Mà \(AE+CE=AC\Rightarrow AB=AC\)

=> tg ABC cân tại A

b/

Xét tg ABC có

AD là trung tuyến (gt)

AE=CE (cmt) => BE là trung tuyến

=> G là trọng tâm của tg ABC (Trong tg 3 đường trung tuyến đồng quy tại 1 điểm gọi là trọng tâm của tg)

a) Ta có : AE=ED

⇒ Δ EAD cân tại E

⇒ Góc ADE = Góc EAD

mà Góc ADE = Góc DAB (DE\(//\)  AB ⇒ 2 góc bằng nhau ở vị trí so le trong)

⇒ Góc EAD = Góc DAB

⇒ AD là phân giác góc BAC

mà AD là trung tuyến Δ ABC (đề bài)

⇒ Δ ABC cân tại A

b) Ta có Góc EDC = Góc ABC (DE\(//\)  AB,góc đồng vị)

mà Góc ABC = Góc ACB

⇒ Góc ACB = Góc EDC

⇒ Δ EDC cân tại E

⇒ ED=EC

mà ED=AE (đề bài)

⇒ AE=EC

⇒ BE là trung tuyến Δ ABC

mà AD là trung tuyến Δ ABC (đề bài)

BE cắt AD tại G (đề bài)

⇒ G là trọng tâm Δ ABC

a: BD=3cm

=>AD=4cm

b: Xét ΔABG và ΔACG có

AB=AC

góc BAG=góc CAG

AG chung

=>ΔABG=ΔACG

=>góc ABG=góc ACG

c: G là trọng tâm

=>AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC

=>A,G,D thẳng hàng

a: ΔACB cân tại A

mà AD là trung tuyến

nên AD vuông góc BC

Xét tứ giác BGCE có

D là trung điểm chung của BC và GE

BC vuông góc GE

=>BGCE là hình thoi

=>BG=GC=CE=BE

b: Xét ΔABE và ΔACE có

AB=AC

BE=CE

AE chung

=>ΔABE=ΔACE