x² + y² + 2x + 2y = 11 <=> (x² + 2x) + (y² + 2y) = 11 <=> x(x + 2) + y(y +2) = 11

xy(x+2)(y+2) = m <=> [x(x+2)].[y(y+2)] = m

đặt a = x(x+2); b = y(y +2)

Khi đó ta có hệ phương trình: a + b = 11; ab = m

Theo hệ thức Vi ét đảo => a; b là ngiệm của phương trình t² - 11t + m = 0   (*)

a) khi m = 24 .

(*) <=> t² - 11t + 24 = 0 <=> t² - 3t - 8t + 24 = 0 <=> (t - 3).(t - 8) = 0 <=> t = 3 hoặc t = 8

=> a = 8 ; b = 3 hoặc a = 3; b = 8

+) a =8 => x(x+2) = 8 => x² + 2x - 8 = 0 => (x+1)² = 9 <=> x + 1 = 3 hoặc x+ 1 = -3 <=> x = 2 hoặc x = -4

b = 3 => y(y +2) = 3 <=> y² + 2y - 3 = 0 <=> (y +1)² = 4 => y + 1 = 2 hoặc y + 1 = -2 => y = 1 hoặc y = -3

tương tự, a = 3; b = 8

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (2;1)(2;-3)(-4;1); (-4;-3) ; (1;2); (-3;2); (1;-4); (3;-4)

b)  Vì a = x(x+2) => x² + 2x = a <=> (x+1)² = a+ 1; b = y(y + 2) => (y +1)²  = b + 1

=> a+ 1 \(\ge\) 0 và b+ 1 \(\ge\) 0 <=> a ; b \(\ge\) -1

Để hệ có nghiệm <=>  (*) có 2  nghiệm t₁; t₂   \(\ge\) -1 

<=> \(\Delta\) \(\ge\) 0 ; t₁ \(\ge\) -1; t₂ \(\ge\) -1

+) \(\Delta\) \(\ge\) 0 <=> 121 - 4m \(\ge\) 0 <=> 30,25 \(\ge\) m

+)  t₁ \(\ge\) -1; t₂ \(\ge\) -1 <=> t₁ +1 \(\ge\) 0 ; t₂ + 1 \(\ge\) 0 

<=> (t₁ + 1) + (t₂ + 1) \(\ge\) 0 và (t₁ + 1)(t₂ + 1) \(\ge\) 0

Theo hệ thức Vi ét ta có : t₁ + t₂  = 11/2 = 5,5; t₁.t₂ = m 

Suy ra (t₁ + 1) + (t₂ + 1)  =7,5  \(\ge\) 0  (đúng) và (t₁ + 1)(t₂ + 1) = t₁.t₂ + (t₁ + t₂) + 1 = m + 5,5 + 1 = m + 6,5  \(\ge\) 0 => m \(\ge\) - 6 ,5 

Vậy để hệ có nghiệm <=> -6,5 \(\le\) m \(\le\) 30,25 

a: Khi m=2 thì hệ phương trình sẽ trở thành:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=-4\\x-2y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=-4\\2x-4y=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7y=-14\\x-2y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-2\\x=2y+5=-4+5=1\end{matrix}\right.\)

b: Để hệ phương trình không có nghiệm thì \(\dfrac{m}{1}=\dfrac{3}{-2}< >-\dfrac{4}{5}\)

=>\(\dfrac{m}{1}=\dfrac{3}{-2}\)

=>\(m=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}\)

Thay m=2 vào HPT ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2-1\right)x-2y=6-1\\2x-y=2+5\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=5\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\2x-y=7\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}2x-4y=10\\-3y=3\end{matrix}\right.\)

⇔\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy HPT có nghiemj (x;y) = (3;-11)

1) Thay \(m=\sqrt{3}+1\) vào hệ phương trình, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(\sqrt{3}+1-1\right)x-2y=1\\3x+\left(\sqrt{3}+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}x-2y=1\\3x+\left(\sqrt{3}+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\\3x+\left(\sqrt{3}+1\right)y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{3}y-y\left(\sqrt{3}+1\right)=\sqrt{3}-1\\3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{3}y-\sqrt{3}y-y=\sqrt{3}-1\\3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y\left(-3\sqrt{3}-1\right)=\sqrt{3}-1\\3x-2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}+1}\\3x-2\sqrt{3}\cdot\dfrac{-\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-5+2\sqrt{3}}{13}\\3x=\sqrt{3}-\dfrac{12+10\sqrt{3}}{13}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-5+2\sqrt{3}}{13}\\x=\left(\dfrac{13\sqrt{3}-12-10\sqrt{3}}{13}\right)\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}-12}{13}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{\sqrt{3}-4}{13}\end{matrix}\right.\)

Vậy: Khi \(m=\sqrt{3}+1\) thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{3}-4}{13}\\y=\dfrac{-5+2\sqrt{3}}{13}\end{matrix}\right.\)

a) Thay m=3 vào hpt \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\3x+2y=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1-x\\3x+2-2x=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)

Vậy m=3 thì hpt có nghiệm duy nhất (x,y)=(1;0)

b)Ta có  \(\hept{\begin{cases}x=1-y\\m-my+2y=m\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1-y\left(1\right)\\\left(2-m\right)y=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Để hpt có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow pt\left(2\right)\ne0\Leftrightarrow2-m\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)

Khi đó \(\left(2\right)\Leftrightarrow y=0\).Thay vào \(\left(1\right)\Leftrightarrow x=1\)

Để hpt có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow2-m=0\Leftrightarrow m=2\)

Vậy m\(\ne\)2 thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;0)

      m=2 thì hpt có vô số nghiệm

a: x+my=1 và -mx+y=m

Khi m=2 thì x+2y=1 và -2x+y=2

=>x=-3/5; y=4/5

b: 1/-m<>m/1

nên hệ luôn có nghiệm duy nhất

c: x+my=1 và -mx+y=m

=>x=1-my và -m(1-my)+y=m

=>x=1-my và -m+m^2y+y=m

=>x=1-my và y(m^2+1)=-2m

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-2m}{m^2+1}\\x=1-\dfrac{-2m^2}{m^2+1}=\dfrac{m^2+1+2m^2}{m^2+1}=\dfrac{3m^2+1}{m^2+1}\end{matrix}\right.\)

x<1; y<1

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-2m}{m^2+1}-1< 0\\\dfrac{3m^2+1-m^2-1}{m^2+1}< 0\end{matrix}\right.\)

=>-2m-m^2-1<0 và 2m^2<0

=>\(m\in\varnothing\)