\(\left(x^2-3x+2\right)\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{15}{2}x-11\left(1\right)\)

Đk: \(\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x>1\\x\le-3\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=x^3-15x+22\)

\(\Rightarrow-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}.\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x-11\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(nhận\right)\\-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=x^2+2x-11\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-2\sqrt{x^2+2x-3}=\left(x^2+2x-3\right)-8\)

Đặt \(a=\sqrt{x^2+2x-3}\left(a\ge0\right)\). Từ phương trình (2) suy ra:

\(a^2+2a-8=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=2\left(nhận\right)\\a=-4\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+2x-3}=2\Leftrightarrow x^2+2x-7=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1+2\sqrt{2}\left(nhận\right)\\x=-1-2\sqrt{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Thử lại ta có \(x=2\) và \(x=-1+2\sqrt{2}\) là 2 nghiệm của phương trình (1).

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-3x+2\right)\cdot\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=-x^3+15x-22\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-2\right)\left(x-1\right)\cdot\dfrac{\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}}{x-1}=-x^3+2x^2-2x^2+4x+11x-22\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-2\right)\sqrt{\left(x+3\right)\left(x-1\right)}=\left(x-2\right)\left(-x^2-2x+11\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\sqrt{4\left(x^2+2x-3\right)}+x^2+2x-11\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\left(1\right)\\2\sqrt{x^2+2x-3}+x^2+2x-11=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) =>x=2

(2): Đặt \(\sqrt{x^2+2x-3}=a\left(a>=0\right)\)

=>2a+a^2-8=0

=>(a+4)(a-2)=0

=>a=2

=>x^2+2x-3=4

=>x^2+2x-7=0

=>\(x=-1\pm2\sqrt{2}\)

Lời Giải

Cộng theo vế 2 pt trên, ta có

3(x+1)2+2(x−1)2=83(x+1)2+2(x−1)2=8

⇔5x2+2x−3=0⇔5x2+2x−3=0

⇔⎡⎣x=35x=−1⇔[x=35x=−1

Ta viết lại pt (2)

x+5(y−1)=xyx+5(y−1)=xy

⇔(x−xy)+5(y−1)=0⇔(x−xy)+5(y−1)=0

⇔x(1−y)−5(1−y)=0⇔x(1−y)−5(1−y)=0

⇔(x−5)(1−y)=0⇔(x−5)(1−y)=0

⇔[x=5y=1⇔[x=5y=1

- TH1: Thay x = 5 vào pt (1) tìm được [y=−5+52−√y=−5−52−√[y=−5+52y=−5−52

- TH2: Thay y = 1 vào pt (1) tìm được [x=−1+52−√x=−1−52−√[x=−1+52x=−1−52

Áp dụng BĐT vào giải pt 2 dựa vào đk x,y>0; x+y=căn bậc 3 2014 

suy ra dấu =

Lời Giải

{(x−1)2−2y=2(x+1)2+3y=1{(x−1)2−2y=2(x+1)2+3y=1

⇔{3(x+1)2−6y=6(1)2(x−1)2+6y=2(2)⇔{3(x+1)2−6y=6(1)2(x−1)2+6y=2(2)

Cộng theo vế 2 pt trên, ta có

3(x+1)2+2(x−1)2=83(x+1)2+2(x−1)2=8

⇔5x2+2x−3=0⇔5x2+2x−3=0

⇔⎡⎣x=35x=−1⇔[x=35x=−1

{(x+y)2=50(1)x+5(y−1)=xy(2){(x+y)2=50(1)x+5(y−1)=xy(2)

Ta viết lại pt (2)

x+5(y−1)=xyx+5(y−1)=xy

⇔(x−xy)+5(y−1)=0⇔(x−xy)+5(y−1)=0

⇔x(1−y)−5(1−y)=0⇔x(1−y)−5(1−y)=0

⇔(x−5)(1−y)=0⇔(x−5)(1−y)=0

⇔[x=5y=1⇔[x=5y=1

- TH1: Thay x = 5 vào pt (1) tìm được [y=−5+52–√y=−5−52–√[y=−5+52y=−5−52

- TH2: Thay y = 1 vào pt (1) tìm được [x=−1+52–√x=−1−52–√[x=−1+52x=−1−52

Ptrình này vô nghiệm bn ạ

\(ĐK:x\in R\)

Đặt \(\sqrt{x^2+3}=t\left(t\ge0\right)\)

\(PT\Leftrightarrow2t^2-\left(7x+1\right)t+3x^2+3x=0\\ \Delta=\left(7x+1\right)^2-4\cdot2\left(3x^2+3x\right)=25x^2-10x+1=\left(5x-1\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{7x+1-5x+1}{4}\\t=\dfrac{7x+1+5x-1}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\dfrac{2x+2}{4}=\dfrac{x+1}{2}\\t=\dfrac{12x}{4}=3x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+3}=\dfrac{x+1}{2}\\\sqrt{x^2+3}=3x\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+3=\dfrac{x^2+2x+1}{4}\\x^2+3=9x^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x^2-2x+11=0\\x^2=\dfrac{3}{8}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\Delta=4-132< 0\\\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\\x=-\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{-\dfrac{\sqrt{6}}{4};\dfrac{\sqrt{6}}{4}\right\}\)

Đặt \(\sqrt{x^2-3x+2}=t\ge0\)

\(\Rightarrow log_3\left(t+2\right)+5^{t^2-1}-2=0\)

Nhận thấy \(t=1\) là 1 nghiệm của pt

Xét hàm \(f\left(t\right)=log_3\left(t+2\right)+5^{t^2-1}-2\)

\(f'\left(t\right)=\dfrac{1}{\left(t+2\right)ln3}+2t.5^{t^2-1}.ln5>0\) ; \(\forall t\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến \(\Rightarrow f\left(t\right)\) có tối đa 1 nghiệm

\(\Rightarrow t=1\) là nghiệm duy nhất

\(\Rightarrow\sqrt{x^2-3x+2}=1\)

\(\Rightarrow...\)