\(xy^2+2xy+x=32y\)

\(x\left(y+1\right)^2=32y\)

\(\Rightarrow x=\frac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Vì \(\left(y,\left(y+1\right)^2\right)=1\)và \(x\inℤ\)\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\inƯ\left(32\right)=Ư\left(2^5\right)=\left\{2^2;2^4\right\}\)

\(Khi\left(y+1\right)^2=2^2=4\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y+1=2\\y+1=-2\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1\\y=-3\end{cases}}\)

\(\cdot y=1\Rightarrow x=\frac{32.1}{4}=8\)        

\(\cdot y=-3\Rightarrow x=\frac{32.\left(-3\right)}{4}=-24\)

\(Khi\left(y+1\right)^2=2^4=16\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y+1=4\\y+1=-4\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=3\\y=-5\end{cases}}}\)

\(\cdot y=3\Rightarrow x=\frac{32.3}{16}=6\)

\(\cdot y=-5\Rightarrow x=\frac{32.\left(-5\right)}{16}=-10\)

Vậy nghiệm phương trình \(\left(x;y\right)=\left(8;1\right);\left(-24;-3\right);\left(6;3\right);\left(-10;-5\right)\)

\(xy^2+2xy-8y+x=0\)

\(\Leftrightarrow xy^2+2xy+x=8y\)

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+2y+1\right)=8y\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=8y\)

\(\Leftrightarrow\left(y+1\right)^2=\dfrac{8y}{x}=2^2.\dfrac{2y}{x}\left(x\ne0\right)\left(1\right)\)

Ta thấy \(VP=\left(y+1\right)^2\) là số chính phương lẻ hoặc chẵn

mà \(VP=2^2.\dfrac{2y}{x}\) là số chính phương chẵn \(\left(2^2;\dfrac{2y}{x}⋮2\right)\) và \(\dfrac{2y}{x}\) cũng là số chính phương

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\) là số chính phương chẵn

\(\Rightarrow y\) là số lẻ

Vậy để thỏa \(\left(1\right)\) ta thấy \(y=1;x=2\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(2;1\right)\right\}\left(x;y\in Z\right)\)

xy^3 + 2xy^2 - 8y^2 + x = 0

z^3 + 2z^2 - 8z + x = 0

z = (1 + 2 \sqrt{2}) \pm (1 - 2 \sqrt{2}) \sqrt{3}

xy = (1 + 2 \sqrt{2}) \pm (1 - 2 \sqrt{2}) \sqrt{3}

(x, y) = (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)

Vậy, nghiệm nguyên của phương trình xy2+2xy−8y+x=0 là (1,1),(1,−1),(−1,1),(−1,−1).

thumb_upthumb_down

share

Tìm trên Google

Bổ sung \(x=-2;y=-1\) thỏa \(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(-2;-1\right);\left(2;1\right)\right\}\)

Bài làm

\(xy^2+2xy+x=32y\)

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+2y+1\right)=32y\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{32y}{y^2+2y+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{32y}{y+1}-\frac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Để x là số nguyên dương thì 

\(\left(y+1\right)^2\inƯ_{\left(32\right)}\)và\(\left(y+1\right)^2\)là số chính phương 

\(\Rightarrow\left(y+1^2\right)=\left\{1;4;16\right\}\)

\(\Leftrightarrow y+1=\left\{1;2;4\right\}\)

\(\Leftrightarrow y=\left\{0;1;3\right\}\)

Vì y là số nguyên dương 

Nên: \(\hept{\begin{cases}y=1\Rightarrow x=8\\y=3\Rightarrow x=6\end{cases}}\)

Vậy   x = 8; y = 1

hoặc x = 6; y = 3

# Chúc bạn học tốt #

Bạn có thể giải thích rõ dòng: 4 và 5 không. Mình thấy nó chưa được chính xác.

Ta có: \(xy^2+2xy+x=32y \)

⇔ \(x\left(y^2+2y+1\right)=32y\)

⇔\(x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\) 

⇔\(x=\dfrac{32y-32+32}{\left(y+1\right)^2}\)

⇔\(x=\dfrac{32\left(y+1\right)}{\left(y+1\right)^2}-\dfrac{32}{\left(y+1\right)^2}\)

⇔\(x=\dfrac{32}{y+1}-\dfrac{32}{\left(y+1\right)^2}\)

Để x là số dương ⇒ \(\left(y+1\right)^2\)∈ \(U_{\left(32\right)}\)={-32 ;-16;-8;-4;-2;-1;1;2;4;8;16;32}

Nhưng \(\left(y+1\right)^2\)là số chính phương ⇒ \(\left(y+1\right)^2\)∈ {1;4;16}

⇒\(\left[{}\begin{matrix}\left(y+1\right)^2=1\\\left(y+1\right)^2=4\\\left(y+1\right)^2=16\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+1=1\\y+1=2\\y+1=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=0\\y=1\\y=3\end{matrix}\right.\)  

Thay :

y = 0 ⇒ x = 0

y = 1 ⇒ x = 8

y = 3 ⇒ x = 6

Vậy x;y = ( 0;0) ; ( 8;1) ; ( 6;3)

ĐKXĐ: \(x>1\)

- Với \(m=0\) thỏa mãn

- Với \(m\ne0\)

\(\Rightarrow m^2\left(x-1\right)+m=x\)

\(\Leftrightarrow\left(m^2-1\right)x=m^2-m\) (1)

Pt đã cho vô nghiệm khi:

TH1: (1) vô nghiệm \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1=0\\m^2-m\ne0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=-1\)

TH2: (1) có nghiệm thỏa mãn \(x\le1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\x=\dfrac{m^2-m}{m^2-1}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\dfrac{m}{m+1}-1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\dfrac{1}{m+1}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m>-1\)

Vậy pt vô nghiệm khi \(m\ge-1\)

a.

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=32y\Leftrightarrow x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Do y và y+1 nguyên tố cùng nhau  \(\Rightarrow32⋮\left(y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=\left\{4;16\right\}\)

\(\Rightarrow...\)

b.

\(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+a-b=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(2a+2b+1;a-b\right)\)

\(\Rightarrow b^2\) chia hết \(d^2\Rightarrow b⋮d\) (1)

Lại có:

\(\left(2a+2b+1\right)-2\left(a-b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4b+1⋮d\) (2)

 (1);(2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2a+2b+1\) và \(a-b\) nguyên tố cùng nhau

Mà tích của chúng là 1 SCP nên cả 2 số đều phải là SCP (đpcm)

Đáp án: A

Câu 1: \(S\le P\)