Chỗ Bunyakovsky mình sửa lại 1 chút:

\(\left(1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x}\right)^2\) \(\le\left(1^2+1^2\right)\left[\left(\sqrt{x-2}\right)^2+\left(\sqrt{4-x}\right)^2\right]\)

\(=2\left(x-2+4-x\right)\) \(=4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le2\)

Hơn nữa \(x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

Từ đó dấu "=" phải xảy ra ở cả 2 BĐT trên, tức là:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-2}=\sqrt{4-x}\\x-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=3\)

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất \(x=3\)

Đính chính

...Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

\(\left(1.\sqrt[]{x-2}+1.\sqrt[]{4-x}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-2+4-x\right)=2.2=4\)

\(\Rightarrow\sqrt[]{x-2}+\sqrt[]{4-x}\le2\)

mà \(x^2-6x+11=x^2-6x+9+2=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{\sqrt[]{x-2}}=\dfrac{1}{\sqrt[]{4-x}}\\x-3=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=4-x\\x=3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=6\\x=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=3\)

Vậy \(x=3\) là nghiệm của pt (1)

\(\sqrt[]{x-2}+\sqrt[]{4-x}=x^2-6x+11\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow1.\sqrt[]{x-2}+1.\sqrt[]{4-x}=x^2-6x+11\)

Điều kiện xác định khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2\ge0\\4-x\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow2\le x\le4\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :

\(1.\sqrt[]{x-2}+1.\sqrt[]{4-x}\le\left(1^2+1^2\right).\left(x-2+4-x\right)=2.2=4\)

\(\Rightarrow\sqrt[]{x-2}+\sqrt[]{4-x}\le4\)

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-6x+11=4\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+7=0\)

\(\Delta'=9-7=2>0\)

⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt \(x=3\pm\sqrt[]{2}\)

Vậy nghiệm của pt đã cho là \(x=3\pm\sqrt[]{2}\)

Cách khácP:

Áp dụng bđt Bunhiacopski cho 2 bộ số \(\left(\sqrt{x-2};1\right)\)và \(\left(\sqrt{4-x};1\right)\)

\(\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x-2+4-x\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\right)^2\le4\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le2\)

Xét \(VP=x^2-6x+11=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

Từ đó suy ra VT = VP khi \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}=2\\\left(x-3\right)^2+2=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=3\)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là 3

ĐK: \(2\le x\le4\)

Đặt: \(t=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\ge0\)

<=> \(t^2=x-2+4-x+2\sqrt{-x^2+6x-8}\)

<=> \(t^2-2=2\sqrt{-x^2+6x-8}\)

=> \(-x^2+6x-8=\frac{t^4-4t^2+4}{4}\)

<=> \(x^2-6x+11=-\frac{t^4-4t^2+4}{4}+3\)

Khi đó ta có pt: \(t=-\frac{t^4-4t^2+4}{4}+3\)

<=> \(t^4-4t^2+4t-8=0\)

<=> \(t^2\left(t-2\right)\left(t+2\right)+4\left(t-2\right)=0\)

<=> \(\left(t-2\right)\left(t^3+2t^2+4\right)=0\)( với t >= 0 ta có t^3 + 2t^2 + 4 > 0) 

<=> t - 2 = 0 <=> t = 2

Với t = 2 ta thay vào có nghiệm x = 2 ( tmđk)

Thử lại với bài toán ban đầu ta có x = 2 là nghiệm 

Xin lỗi cô nhầm một chút: Thay t = 2 vào : \(t=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\). Giải ra ta có nghiệm bằng 3 ( chứ không phải bằng 2 đâu nhé)

Thử lại với bài toán ban đầu ta có x = 3 là nghiệm.

cm biểu thức phụ \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)

ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le\sqrt{2\left(x-2+4-3\right)}=2\)

VT\(\le2\) dau bang xay ra khi x=3

x²-6x+11\(=\left(x-3\right)^2+2\ge2\)

VP\(\ge2\)dau bang xay ra khi x=3

VT\(\le2\) và VP\(\ge2\) nên VT=VP=2 khi x=3

b) Đặt \(\sqrt{x^2-6x+6}=a\left(a\ge0\right)\)

\(\Rightarrow a^2+3-4a=0\)

=> (a - 3).(a - 1) = 0

=> \(\left[{}\begin{matrix}a=3\\a=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2-6x+6}=3\\\sqrt{x^2-6x+6}=1\end{matrix}\right.\)

Bình phương lên giải tiếp nhé!

c) Tương tư câu b nhé

Tớ đã trả lời ở câu hỏi mới nhất r nên xin phép được xóa câu hỏi này nhé

Như thế này @Cold Wind

\(\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-x}-x^2+6x-11=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-x}=x^2-6x+11\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2y-2}+\sqrt{4-2y}=4y^2-12y+11\)

Ta có \(VT^2\le\left(1+1\right)\left(2y-2+4-2y\right)=2^2\)

\(\Leftrightarrow VT\le2\)

Mà \(VP=4y^2-12y+11=\left(2y-3\right)^2+2\ge2\)

\(VT\le VP=2\Leftrightarrow VT=VP=2\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-3\right)^2+2=2\Leftrightarrow2y-3=0\Leftrightarrow y=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow x=3\)

bạn trường nào vậy?? trường thật ý

nhìn địa chỉ chắc là....người quen. Sáng nay tớ cũng bỏ bài này, thấy giang hồ đồn là sau khi xử lý pt (1), thay x= 2y vào pt 2 rồi dùng bất đẳng thức bunhiacopski gì đó.

ban đầu thấy tiếc nhưng nghe cách làm có bunhiacopski => ko tiếc nữa. vì có biết bđt bunhia là cái gì đâu T_T!!!

a:

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=3\)

=>|x-3|=3

=>x-3=3 hoặc x-3=-3

=>x=0 hoặc x=6

b: \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}=2\)

=>\(\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}=2\)

=>\(\left|\sqrt{x-1}+1\right|=2\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}+1=2\\\sqrt{x-1}+1=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\)

=>x-1=1

=>x=2

c:

ĐKXĐ: x>4/5

PT \(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{5x-4}{x+2}}=2\)

=>\(\dfrac{5x-4}{x+2}=4\)

=>5x-4=4x+8

=>x=12(nhận)

d: ĐKXĐ: x-4>=0 và x+1>=0

=>x>=4

PT =>\(\left(\sqrt{x-4}+\sqrt{x+1}\right)^2=5^2=25\)

=>\(x-4+x+1+2\sqrt{\left(x-4\right)\left(x+1\right)}=25\)

=>\(\sqrt{4\left(x^2-3x-4\right)}=25-2x+3=28-2x\)

=>\(\sqrt{x^2-3x-4}=14-x\)

=>x<=14 và x^2-3x-4=(14-x)^2=x^2-28x+196

=>x<=14 và -3x-4=-28x+196

=>x<=14 và 25x=200

=>x=8(nhận)

a) \(\sqrt{x^2-6x+9}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-3\right|=3 \)

TH1: \(\left|x-3\right|=x-3\) với \(x\ge3\)

Pt trở thành:

\(x-3=3\) (ĐK: \(x\ge3\))

\(\Leftrightarrow x=3+3\)

\(\Leftrightarrow x=6\left(tm\right)\)

TH2: \(\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)\) với \(x< 3\)

Pt trở thành:

\(-\left(x-3\right)=3\) (ĐK: \(x< 3\))

\(\Leftrightarrow x-3=-3\)

\(\Leftrightarrow x=-3+3\)

\(\Leftrightarrow x=0\left(tm\right)\)

b) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=2\) (ĐK: \(x\ge1\))

\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x-1}=4\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-1}=4-x\)

\(\Leftrightarrow4\left(x-1\right)=16-8x+x^2\)

\(\Leftrightarrow4x-4=16-8x+x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-12x+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-10\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=10\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

c) \(\dfrac{\sqrt{5x-4}}{\sqrt{x+2}}=2\) (ĐK: \(x\ge\dfrac{4}{5}\))

\(\Leftrightarrow\dfrac{5x-4}{x+2}=4\)

\(\Leftrightarrow5x-4=4x+8\)

\(\Leftrightarrow x=12\left(tm\right)\)