\(a,\) Áp dụng pytago: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL: \(AH\cdot BC=AB\cdot AC=12\Leftrightarrow AH=\dfrac{12}{BC}=2,4\left(cm\right)\)

\(b,\sin\widehat{B}=\cos\widehat{C}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\approx\left[{}\begin{matrix}\sin53^0\\\cos37^0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\widehat{B}\approx53^0;\widehat{C}\approx37^0\)

a) Xét tam giác ABC vuông tại A:

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(pytago\right)\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(AB.AC=AH.BC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{3.4}{5}=2,4\left(cm\right)\)

b) Xét tam giác ABC vuông tại A:

\(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{B}\approx53^0\)

\(sinC=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{3}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{C}\approx37^0\)

AD định lí PYtago  

=> AB ^2 + AC ^2 = BC ^2 

3 ^2 + 4^2 = BC^2

=> BC ^2 = 25 

=> BC = 5

Ta có

SinB = AB/BC

SinB = 3 /5

=> gB ∼ 37 độ

Sin C = AC /BC 

sin C = 4/5 

=> gC = 53 độ

3:

góc C=90-50=40 độ

Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC

=>4/BC=sin40

=>\(BC\simeq6,22\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}\simeq4,76\left(cm\right)\)

1:

góc C=90-60=30 độ

Xét ΔABC vuông tại A có

sin B=AC/BC

=>3/BC=sin60

=>\(BC=\dfrac{3}{sin60}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

=>\(AB=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\left(cm\right)\)

a,Áp dụng định lí pytago vào tg ABC

AB^2+AC^2=BC^2

<=> 3^2+4^2=BC^2 

=> BC=5

Áp dụng hệ thức 4

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\)

\(\frac{1}{AH^{^2}}=\frac{25}{144}\)

\(\Rightarrow AH^2=5.76\)

\(\Rightarrow AH=2.4\)

a)

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\)

\( \Leftrightarrow B{C^2} = 25\)

\( \Rightarrow BC = 5cm\)

Ta có: \(BD + DC = BC \Rightarrow DC = BC - BD = 5 - BD\)

Vì \(AD\) là phân giác của góc \(BAC\) nên theo tính chất đường phân giác ta có:

\(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{{BD}}{{5 - BD}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow 4.BD = 3.\left( {5 - BD} \right) \Rightarrow 4.BD = 15 - 3.BD\)

\( \Leftrightarrow 4BD + 3BD = 15 \Leftrightarrow 7BD = 15 \Rightarrow BD = \frac{{15}}{7}\)

\( \Rightarrow DC = 5 - \frac{{15}}{7} = \frac{{20}}{7}\)

Vậy \(BC = 5cm;BD = \frac{{15}}{7}cm;DC = \frac{{20}}{7}cm\).

b) Diện tích tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.4.3 = 6\left( {c{m^2}} \right)\)

Mặt khác \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC = \frac{1}{2}.AH.5 = 6\)

\( \Rightarrow AH = \frac{{6.2}}{5} = 2,4cm\).

Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{H^2} + H{B^2} = A{B^2}\)

\( \Leftrightarrow H{B^2} = A{B^2} - A{H^2}\)

\( \Leftrightarrow H{B^2} = {3^2} - 2,{4^2}\)

\( \Leftrightarrow H{B^2} = 3,24\)

\( \Rightarrow HB = 1,8cm\)

\(HD = BD - BH = \frac{{15}}{7} - 1,8 = \frac{{12}}{7}cm\).

Xét tam giác \(AHD\) vuông tại \(H\) ta có:

\(A{H^2} + H{D^2} = A{D^2}\)

\( \Leftrightarrow A{D^2} = {\left( {\frac{{12}}{7}} \right)^2} + 2,{4^2}\)

\( \Leftrightarrow A{D^2} = \frac{{144}}{{49}} + \frac{{144}}{{25}}\)

\( \Rightarrow AD \approx 2,95cm\)

Vậy \(AH = 2,4cm;HD = \frac{{12}}{7}cm;AD = 2,95cm\).

b: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=\widehat{EAF}=90^0\)

Do đó: AEHF là hình chữ nhật

a) Xét ΔABC có 

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(5^2=3^2+4^2\right)\)

nên ΔABC vuông tại A(Định lí Pytago đảo)

Xét ΔABC vuông tại A có 

\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}\)
nên \(\widehat{C}\simeq53^0\)

\(\Leftrightarrow\widehat{B}=37^0\)

b) Xét ΔABC có AD là đường phân giác ứng với cạnh BC(gt)

nên \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\)

hay \(\dfrac{BD}{4}=\dfrac{CD}{3}\)

mà BD+CD=5

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{BD}{4}=\dfrac{CD}{3}=\dfrac{BD+CD}{4+3}=\dfrac{5}{7}\)

Do đó: \(BD=\dfrac{20}{7}cm;CD=\dfrac{15}{7}cm\)