a: Xét ΔHBA vuông tại H và ΔIDC vuông tại I có

BA=DC

góc HAB=góc ICD

=>ΔHBA=ΔIDC

=>AH=IC

b: Xét tứ giác BHDI có

BH//DI

BH=DI

=>BHDI là hình bình hành

c; S CAB=AB*CM/2

S DAC=1/2*CN*AD

mà ΔCAB=ΔDAC

nên AB*CM=CN*AD

Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAMC vuông tại M có

góc HAB chung

=>ΔAHB đồng dạng với ΔAMC

=>AH/AM=AB/AC

=>AB*AM=AH*AC

Xét ΔHCB vuông tại H và ΔNAC vuông tại N có

góc HCB=góc NAC

=>ΔHCB đồng dạng với ΔNAC

=>CB/AC=HC/NA

=>CB*NA=HC*AC=AD*AN

=>AD*AN+AB*AM=AC^2

a, Chú ý EF là đường trung bình trong tam giác HAB

b, Chứng minh F là trực tâm tam giác BEC và sử dụng a)

c, Sử dụng tỉ số sinA trong tam giác vuông HAB và tỉ số tanA trong tam giác vuông BAC để tính AB, CB và AC, EC

a) \(BE;DF\perp AC\text{ nên }BE//DF\)

\(\Delta BEO=\Delta DFO\) (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BE = FD

\(\Rightarrow\Delta BEDF\text{ là }HBH\)

b) \(\Delta BHC~\Delta DKC\) (g.g)

\(\widehat{H}=\widehat{G}=90^o\) 

\(\widehat{CBH}=\widehat{CDK}\) (vì 2 góc này kề bù vs 2 góc bằng nhau là \(\widehat{CBA}=\widehat{ADC}\)) 

\(\Rightarrow\frac{BC}{DC}=\frac{HC}{KC}\)

\(\Rightarrow CB.CK=CH.CD\)

c) Ta có: \(\Delta ABE~\Delta ACH\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AH}\)

\(\Rightarrow AB.AH=AE.AC\)

\(\Leftrightarrow AD.AK=AF.AC\)

\(\Rightarrow AB.AH+AD.AK=AC.\left(AF+AE\right)=AC.2AO=AC^2\)

a: Xét ΔAIM vuông tại M và ΔCIN vuông tại N có 

IA=IC

\(\widehat{AIM}=\widehat{CIN}\)

Do đó: ΔAIM=ΔCIN

Suy ra: IM=IN

a) EF là đường trung bình của tam giác ABH => EF//AB; EF=1/2AB (1)

  Có G là trung điểm của DC => GC//AB(DC//AB); GC=1/2AB(DC=AB) (2)

 Từ (1)$(2) => EF//GC; EF=GC => Tứ giác EFCG là hình bình hành.

b) Xét tam giác EBH và tam giác CBH có:BH là cạnh chung

                                                            EHB=CHB=90 (gt)

                                                            EH=EC(H là trung điểm của EC)

     Vậy tam giác EBH=tam giac CBH (cgv-cgv)

          =>BEH=BCH ; EBH=CBH

Lại có:BEH+EBH+BCH+CBH=180 =>BEH=EBH=BCH=CBH=180/4=45 (3)

Co BCE+ECG=BCG

Ma BCG=90(ABCD là hcn); BCE=45(cmt)

    => ECG=45

Xét tam giác EGC có:EGC+GEC+ECG=180

                          => EGC=180-(GEC+ECG)

                                     =180-(90+45)=45 (4)

Tu (3)$(4) => BEG=90

c)Tu CM

a) Xét tam giác ABH và tam giác CID có :

AB = CD ( gt )

\(\widehat{AHB}=\widehat{CID}=90^0\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ICD}\)

\(\Rightarrow\)\(\Delta ABH=\Delta CID\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow\)\(AH=CI\)

c) \(CM\perp AB\Rightarrow CM\perp CD\)

\(CN\perp AD\Rightarrow CN\perp BC\)

Xét tam giác BCM và tam giác CDN có :

\(\widehat{BMC}=\widehat{CND}\)

\(\widehat{MCB}=\widehat{DCN}\)

Suy ra tam giác BCM = tam giác CDN

\(\Rightarrow\)\(\frac{BC}{DC}=\frac{CM}{CN}\)

mà BC = AD và DC = AB

Suy ra AB.CM = CN.AD