a/ Xét tg ADB và tg MDC có

AD=DM (gt) DB=DC (gt)

\(\widehat{ADB}=\widehat{MDC}\)(góc đối đỉnh)

=> tg ADB = tg MDC (c.g.c) => AC=BM

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{BMD}\)=> AC // BM (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 tạo thành 2 góc so le trong  =  nhau thì chúng // với nhau)

b/

Xét tg ABM và tg MCA có

tg ABD = tg MCD (cmt) => AB = MC; AC = BM

AM chung

=> tg ABM = tg MCA (c.c.c)

c/

Xét tg vuông ABH và tg vuông MCK có

tg ABD = tg MCD (cmt) => \(\widehat{ABH}=\widehat{MCK}\)

AB=CM (cmt)

=> tg ABH = tg MCK (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng = nhau) => BH=CK

Mà BK=BC-CK; CH=BC-BH => BK=CH

d/

Xét tg vuông AHD và tg vuông MKD có

DA=DM (gt); \(\widehat{ADH}=\widehat{MDK}\)(góc đối đỉnh) => tg AHD = tg MKD (Hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{DAH}=\widehat{DMK}\) => HM // AK (Hai đường thẳng bị cắt bởi đường thẳng thứ 3 tạo thành 2 góc so le trong  =  nhau thì chúng // với nhau)

\(a,\)

Xét \(\triangle ADC\) và \(\triangle MDB\):

\(DA=DM\)

\(DC=DB\)

\(\widehat{ADC}=\widehat{MDB}\) 

\(\Rightarrow\Delta ADC=\Delta MDB\left(c.g.c\right)\) \(\left(1\right)\)

\(\left(1\right)\Rightarrow AC=BM\)

\(\Rightarrow\widehat{ACD}=\widehat{MBD}\)

mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow\)\(AC//BM\)

\(b,\)

\(\left(1\right)\Rightarrow\widehat{DAC}=\widehat{DMB}\)

Xét \(\triangle ABM\) và \(\triangle MCA\):

\(AM\) chung

\(BM=AC\)

\(\widehat{DAC}=\widehat{DMB}\)

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta MCA\left(c.g.c\right)\).

a: Xét tứ giác ABMC có

D là trung điểm chung của AM và BC

=>ABMC là hình bình hành

=>AC//BM và AC=BM

b: Xét ΔABM và ΔMCA có

AB=MC

BM=CA

AM chung

=>ΔABM=ΔMCA

a) Xét tam giác ABD và tam giác ACD:

AD chung.

AB = AC (gt).

BD = CD (D là trung điểm của BC).

\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c-c-c\right).\)

b) Xét tam giác ABC: AB = AC (gt).

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A.

Mà AD là trung tuyến (D là trung điểm của BC).

\(\Rightarrow\) AD là phân giác \(\widehat{BAC}\) (Tính chất tam giác cân).

Xét tam giác MAD và tam giác NAD:

AD chung.

AM = AN (gt).

\(\widehat{MAD}=\widehat{NAD}\) (AD là phân giác \(\widehat{BAC}\)).

\(\Rightarrow\Delta MAD=\Delta NAD\left(c-g-c\right).\)

\(\Rightarrow\) DM = DN (2 cạnh tương ứng).

c) Xét tam giác ADC và tam giác EDB:

DC = DB (D là trung điểm của BC).

AD = ED (gt).

\(\widehat{ADC}=\widehat{EDB}\) (Đối đỉnh).

\(\Rightarrow\Delta ADC=\Delta EDB\left(c-g-c\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{CAD}=\widehat{BED}\) (2 góc tương ứng).

\(\Rightarrow\) AC // BE.

Mà \(DK\perp BE\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow\) \(DK\perp AC.\left(1\right)\)

Ta có: \(\widehat{AMD}=\widehat{AND}\) \(\left(\Delta MAD=\Delta NAD\right).\)

Mà \(\widehat{AMD}=90^o\left(AM\perp MD\right).\)

\(\Rightarrow\widehat{AND}=90^o.\Rightarrow AC\perp ND.\left(2\right)\)

Từ (1); (2) \(\Rightarrow N;D;K\) thẳng hàng.

a,

*Xét tam giác BDM và tam giác CDA, ta có:

AD = MD (đề ra)

BD = CD (đề ra)

góc BDM = góc CDA (hai góc đối đỉnh)

=> tam giác BDM = tam giác CDA (c.g.c)

=> Góc CAD = góc BMD (hai góc tương ứng)

=> AC // BM (hai góc so le trong bằng nhau)

b,

cm trên.

c,

*Xét tam giác AHD và tam giác MKD, ta có:

AD = MD (đề ra)

Góc ADH = góc MDK (hai góc đối đỉnh)

=> Tam giác AHD = tam giác MKD (cạnh huyền góc nhọn)

=> HD = KD (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

BK = BD + DK

CH = CD + HD

Mà BD = CD

HD = KD

=> BK = CH (đpcm)

d,

*Xét tam giác AKD và tam giác MHD, ta có:

AD = MD (đề ra)

HD = KD (cm trên)

Góc HDM = góc KDA (hai góc đối đỉnh)

=> Tam giác AKD = tam giác MHD (c.g.c)

=> Góc HMD = góc KAD (hai góc tương ứng)

=> HM // AK (hai góc so le trong bằng nhau)