Chứng minh bất đẳng thức
x2+y2-xy>= x+y-1
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z 0a) x2 + y2 ≥ (x + y)2/2b) x3 + y3 ≥ (x + y)3/4c) x4 + y4 ≥ (x + y)4/8d) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zxe) x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z)2/3f) x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz
Đọc tiếp
Chứng minh các bất đẳng thức sau với x, y, z > 0
a) x2 + y2 ≥ (x + y)2/2
b) x3 + y3 ≥ (x + y)3/4
c) x4 + y4 ≥ (x + y)4/8
d) x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx
e) x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z)2/3
f) x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz
a: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\)
\(=x^2+2xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)
Đúng 1
Bình luận (0)
| Chứng minh đẳng thức |
| x2 – 4 + ( x – 2 )2 = 2x ( x – 2 ) |
x2 - 4 + (x - 2)2
= (x - 2)(x + 2) + (x - 2)2
= (x - 2)(x + 2 + x - 2)
= 2x(x - 2)
Vậy x2 - 4 + (x - 2)2 = 2x(x - 2)
Đúng 0
Bình luận (1)
Chứng minh các bất đẳng thức: x^2 + y^2 +1 lớn hơn hoặc bằng xy + x + y
Áp dụng BĐT Cô-si a2+b2>=2ab, ta đc:
x^2+y^2>=2.x.y=2xy
x^2+1>=2.x.1=2x
y^2+1>=2.y.1=2y
Cộng vế theo vế ba BĐT trên, ta đc: x^2+y^2+x^2+1+y^2+1>=2xy+2x+2y
(=) 2(x^2+y^2+1)>=2(xy+x+y)
(=)x^2+y^2+1>=xy+x+y.
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có : x^2 + y^2 +1 >= xy +x +y
<=> 2(x^2+y^2 +1) >=2 ( xy+x+y) (*nhân 2 vào cả 2 vế)
<=> 2x^2+2y^2+2 >= 2xy+2x+2y
<=> 2x^2+2y^2+2-2xy-2x-2y >= 0
<=> x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1 >=0
<=> (x-y)^2 + ( x-1)^2 +(y-1)^2 >= 0
+ Với x,y thì (x-y)^2 >= 0;(x-1)^2>=0;(y-1)^2>=0 nên ...(ghi lại dòng trên)
Vậy : x^2 +y^2+1 >= xy+x+y
Đúng 1
Bình luận (0)
Chứng minh với mọi x, y \(\in R\), bất đẳng thức sau luôn đúng:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Dễ thấy:
\(VT\ge\left(x+y\right)^2+1-\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\)
Áp dụng Cô-si:
\(\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{4}.1}=\sqrt{3}\left|x+y\right|\ge\sqrt{3}\left(x+y\right)\)
Do đó:
\(\left(x+y\right)^2+1-xy\ge\sqrt{3}\left(x+y\right),\forall x,y\in R\)
Đúng 1
Bình luận (0)
chứng minh bất đẳng thức \(\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\ge4+2\sqrt{3}\)(x+y=1)
\(P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\)
Ta có:
\(x+y=1\Rightarrow\left(x+y\right)^3=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=1\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+3xy=1\)
\(\Rightarrow P=\frac{x^3+y^3+3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy}{xy}\)\(=4+\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\left(1\right)\)
Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\ge2\sqrt{\frac{3xy}{x^3+y^3}\cdot\frac{x^3+y^3}{xy}}=2\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge4+2\sqrt{3}\)(Đpcm)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x^3+y^3=\sqrt{3xy}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\1-3xy=\sqrt{3xy}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\3\sqrt{xy}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\xy=\frac{6-2\sqrt{5}}{12}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{6-2\sqrt{5}}{12}=0\)\(\Leftrightarrow x,y=\frac{1\pm\sqrt{\frac{2\sqrt{5}-3}{3}}}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức: \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\) với x,y \(\ge\) 1
Với x>=0, y>=0 . Chứng minh bất đẳng thức (√x+√y)^2 >= 2√[2(x+y)√xy]
Chứng minh đẳng thức sau:
x
2
y
+
2
x
y
2
+
y
3
2
x
2
+
x
y
-
y
2
x...
Đọc tiếp
Chứng minh đẳng thức sau: x 2 y + 2 x y 2 + y 3 2 x 2 + x y - y 2 = x y + y 2 2 x - y
Chứng minh bất đẳng thức : \(x^2+y^2-xy\) lớn hơn hoặc bằng \(x+y-1\)
\(x^2+y^2-xy\ge x+y-1\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy\ge2x+2y-2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(x-y\right)^2\ge0\)
Bat ddang thuc cuoiđung,cac phep biendddooii tren la tuong dduong nen BĐT cuoi ddung =>đpcm
xay ra--ddang--thuc khi x=y=1
Đúng 0
Bình luận (3)