a) Ta có: AM là đường trung tuyến (gt). => M là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABC vuông tại A: AM là đường trung tuyến (gt).

=> AM = \(\dfrac{1}{2}\) BC (Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông).

=> AM = MB = MC = \(\dfrac{1}{2}\) BC (do M là trung điểm của BC).

Xét tam giác AMB có: AM = MB (cmt). => Tam giác AMB cân tại M.

Mà MD là đường cao (MD \(\perp\) AB).

=> MD là phân giác ^AMB (Tính chất các đường trong tam giác cân).

Xét tam giác AMC có: AM = MC (cmt). => Tam giác AMC cân tại M.

Mà ME là đường cao (ME \(\perp\) AC).

=> ME là phân giác ^AMC (Tính chất các đường trong tam giác cân).

Xét tam giác MBD và tam giác MAD có:

+ MD chung.

+ MB = AM (cmt).

+ ^BMD = ^AMD (MD là phân giác ^AMB).

=> Tam giác MBD = Tam giác MAD (c - g - c).

=> ^MBD = ^MAD (2 góc tương ứng). 

=> ^MBD = ^MAD = \(90^o\). => BD \(\perp\) AB. (1)

Xét tam giác MAE và tam giác MCE có:

+ ME chung.

+ MC = AM (cmt).

+ ^AME = ^CME (ME là phân giác ^AMC).

=> Tam giác MAE = Tam giác MCE (c - g - c).

=> ^MAE = ^MCE (2 góc tương ứng). 

=> ^MAE = ^MCE = \(90^o\). => CE \(\perp\) AB. (2)

Từ (1); (2) => BD // CE (Từ \(\perp\) đến //).

b) Ta có: DE = DA + AE.

Mà DA = DB (Tam giác MBD = Tam giác MAD).

      EA = EC (Tam giác MAE = Tam giác MCE).

=> DE = BD + CE (đpcm).

a) Xét tam giác BEM và tam giácCFM

có:BM=MC(gt)

     góc EBM=gócFCM(tam giác ABC can^)
->T/g BEM=t/g CFM(c.huyền g. nhon)

b)

Xét tam giác vg AEM va t/g vg AFM

có:EM=MF(t/g BEM=t/gAFM)

    AM là cạnh chung

->t/g AEM =t/g AFM( c/ huyền -c.góc vg)

->AE=AF(2 cạnh tương ứng)

Xét tam giác AEI và t/g AFI 

có:MF=EM(t/g BEM= t/g CFM)

    AM là cạnh chung

    AF=AE(C/ m trên)

->t/g AEI =t/g AFI(c-c-c)

->EI = IF(2 cạnh tương ứng)

->góc AIE= góc AIF(2 tương ứng)

=>AE là đường trung trực của EF

c(mik ko pt lm) 

a và b bạn Hương Sơn 

c) Ta có: 

\(\Delta ABC\)cân

có AM là đường trung tuyến 

=> AM cũng  là đường trung trực

=> \(AM\perp BC\)

=> AM = 90 độ

Vì \(\Delta ABC\)cân 

=> Góc ABM = góc ACM          (1)

mà Góc ABD = góc ACD = 90 độ            (2)

Từ (1) và (2) => Góc MBD = góc MCD 

Xét \(\Delta DMB\)và \(\Delta DMC\)có :

DM : cạnh chung     (1)

Góc MBD = góc MCD ( chứng minh trên )            (2)

BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC )                  (3)

Từ (1) ; (2) và (3) => \(\Delta DMB=\Delta DMC\)(cạnh - góc - cạnh)

=> Góc CMD = góc BMD ( cặp góc tương ứng)

Mà Góc CMD + góc BMD = 180 độ

=> Góc CMD = BMD = 180 : 2 = 90 độ

Vì Góc AMC = 90 độ ( vì AM là đường trung trực)

và  góc CMD = 90 độ

=> AMC + CMD = AMD

=> 90 + 90 = AMD 

=> AMD = 180 độ

=>   Ba điểm A ; M ; D thẳng hàng. ( điều phải chứng minh)

Chúc bạn học tốt !

Câu b của bạn Dương Thị Hương Sơn dài. Mình làm cách khác ngắn hơn:

\(\Delta BEM=\Delta CFM\)

=> EB=FC, EM=FM

Ta có: AB-EB= AC - FC hay AE=AF

=> A nằm trên đường trung trực của EF (1)

Ta lại có: EM=FM

=> M nằm trên đường trung trực của EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: đpcm

^-^ Chúc các bạn học tốt. k ủng hộ cho mk nhé cảm ơn các bạn.

a: ΔABC vuông tại A
mà AM là đường trung tuyến

nên MA=MB=MC

Ta có: MA=MB

=>ΔMAB cân tại M

=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

Ta có: \(\widehat{DAB}+\widehat{MAB}=\widehat{DAM}=90^0\)

\(\widehat{HAB}+\widehat{HBA}=90^0\)(ΔHAB vuông tại H)

mà \(\widehat{MAB}=\widehat{HBA}\)(cmt)

nên \(\widehat{DAB}=\widehat{HAB}\)

=>AB là phân giác của góc DAH