a.

ĐKXĐ: \(1\le x\le7\)

\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+2\sqrt{7-x}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(7-x\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{7-x}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{7-x}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=\sqrt{7-x}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=7-x\\x-1=4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

b. ĐKXĐ: ...

Biến đổi pt đầu:

\(x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)^2=\sqrt{y-1}-\sqrt{x}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y-1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2b^2-b^4=b-a\)

\(\Leftrightarrow b^2\left(a+b\right)\left(a-b\right)+a-b=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b^2\left(a+b\right)+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a=b\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y-1}\Rightarrow y=x+1\)

Thế vào pt dưới:

\(3\sqrt{5-x}+3\sqrt{5x-4}=2x+7\)

\(\Leftrightarrow3\left(x-\sqrt{5x-4}\right)+7-x-3\sqrt{5-x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x^2-5x+4\right)}{x+\sqrt{5x-4}}+\dfrac{x^2-5x+4}{7-x+3\sqrt{5-x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5x+4\right)\left(\dfrac{3}{x+\sqrt{5x-4}}+\dfrac{1}{7-x+3\sqrt{5-x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3y^2+x^2y^3+x^3y+2x^2y^2+xy^3-30=0\\x^2y+xy^2+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2y^2\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)^2-30=0\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)\left[xy+x+y\right]-30=0\\xy\left(x+y\right)+xy+x+y-11=0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=u\\xy+x+y=v\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}uv-30=0\\u+v-11=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\left(u;v\right)=\left(6;5\right);\left(5;6\right)\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=6\\xy+x+y=5\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=3\\xy=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(1;2\right);\left(2;1\right)\)hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=3\end{matrix}\right.\)(vô nghiệm)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}xy\left(x+y\right)=5\\xy+x+y=6\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=5\\xy=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\xy=5\end{matrix}\right.\) (vô nghiệm)

2 câu dưới hình như em hỏi rồi?

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=5\\4x-5y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+6y=10\\4x-5y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=5\\11y=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3\cdot\dfrac{9}{11}=5\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+\dfrac{27}{11}=5\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=\dfrac{28}{11}\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{14}{11}\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x=\dfrac{14}{11};y=\dfrac{9}{11}\)

x² + y² + 2x + 2y = 11 <=> (x² + 2x) + (y² + 2y) = 11 <=> x(x + 2) + y(y +2) = 11

xy(x+2)(y+2) = m <=> [x(x+2)].[y(y+2)] = m

đặt a = x(x+2); b = y(y +2)

Khi đó ta có hệ phương trình: a + b = 11; ab = m

Theo hệ thức Vi ét đảo => a; b là ngiệm của phương trình t² - 11t + m = 0   (*)

a) khi m = 24 .

(*) <=> t² - 11t + 24 = 0 <=> t² - 3t - 8t + 24 = 0 <=> (t - 3).(t - 8) = 0 <=> t = 3 hoặc t = 8

=> a = 8 ; b = 3 hoặc a = 3; b = 8

+) a =8 => x(x+2) = 8 => x² + 2x - 8 = 0 => (x+1)² = 9 <=> x + 1 = 3 hoặc x+ 1 = -3 <=> x = 2 hoặc x = -4

b = 3 => y(y +2) = 3 <=> y² + 2y - 3 = 0 <=> (y +1)² = 4 => y + 1 = 2 hoặc y + 1 = -2 => y = 1 hoặc y = -3

tương tự, a = 3; b = 8

Vậy nghiệm của hệ là (x; y) = (2;1)(2;-3)(-4;1); (-4;-3) ; (1;2); (-3;2); (1;-4); (3;-4)

b)  Vì a = x(x+2) => x² + 2x = a <=> (x+1)² = a+ 1; b = y(y + 2) => (y +1)²  = b + 1

=> a+ 1 \(\ge\) 0 và b+ 1 \(\ge\) 0 <=> a ; b \(\ge\) -1

Để hệ có nghiệm <=>  (*) có 2  nghiệm t₁; t₂   \(\ge\) -1 

<=> \(\Delta\) \(\ge\) 0 ; t₁ \(\ge\) -1; t₂ \(\ge\) -1

+) \(\Delta\) \(\ge\) 0 <=> 121 - 4m \(\ge\) 0 <=> 30,25 \(\ge\) m

+)  t₁ \(\ge\) -1; t₂ \(\ge\) -1 <=> t₁ +1 \(\ge\) 0 ; t₂ + 1 \(\ge\) 0 

<=> (t₁ + 1) + (t₂ + 1) \(\ge\) 0 và (t₁ + 1)(t₂ + 1) \(\ge\) 0

Theo hệ thức Vi ét ta có : t₁ + t₂  = 11/2 = 5,5; t₁.t₂ = m 

Suy ra (t₁ + 1) + (t₂ + 1)  =7,5  \(\ge\) 0  (đúng) và (t₁ + 1)(t₂ + 1) = t₁.t₂ + (t₁ + t₂) + 1 = m + 5,5 + 1 = m + 6,5  \(\ge\) 0 => m \(\ge\) - 6 ,5 

Vậy để hệ có nghiệm <=> -6,5 \(\le\) m \(\le\) 30,25 

lấy vế trên trừ dưới bạn có 2 kết quả 

thế từng kết quả vào là ra 

Với \(xy=0\) là nghiệm

Với \(xy\ne0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3x}{y}=0\\\dfrac{y}{x}+x+\dfrac{2}{y}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y-\dfrac{2}{x}=-\dfrac{3x}{y}\\x+\dfrac{2}{y}=-\dfrac{y}{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(y-\dfrac{2}{x}\right)\left(x+\dfrac{2}{y}\right)=3\)

\(\Leftrightarrow xy-\dfrac{4}{xy}-3=0\)

\(\Rightarrow\left(xy\right)^2-3xy-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=-1\\xy=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{y}\\x=\dfrac{4}{y}\end{matrix}\right.\) thế vào \(y^2+x^2y+2x=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2+\dfrac{1}{y}-\dfrac{2}{y}=0\\y^2+\dfrac{16}{y}+\dfrac{8}{y}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^3=1\\y^3=-24\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow...\)

Cộng vế với vế:

\(x^2+2xy+y^2+3x+3y-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)-4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=1\\x+y=-4\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x+y=1\Rightarrow y=1-x\) thay vào pt dưới:

\(x\left(1-x\right)+x+2\left(1-x\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2+1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;y=0\\x=-1;y=2\end{matrix}\right.\)

TH2: \(x+y=-4\Rightarrow y=-4-x\)

\(x\left(-4-x\right)+x+2\left(-4-x\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+9=0\) (vô nghiệm)