Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c+ab+ac+bc=6.
a,Tìm GTLN của P=abc
b,CMR \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}\dfrac{>}{ }\dfrac{64}{a+b+c+d}\) với a,b,c,d là các số dương
cho a,b,c là 3 số thực số thực dương và thỏa mãn: abc=1
Tìm GTLN của D = \(\dfrac{a}{b^4+c^4+a}\)+\(\dfrac{b}{a^4+c^4+b}\)+\(\dfrac{c}{a^4+b^4+c}\)
Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:
Với thì
Cách CM:
BĐT trên tương đương với: (luôn đúng)
Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
Trước tiên ta đi chứng minh BĐT phụ là:
Với thì
Cách CM:
BĐT trên tương đương với: (luôn đúng)
Quay trở về bài toán chính: Áp dụng BĐT phụ trên :
Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế:
(đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$
Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn: a+b+c=1. Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{ac}{b+ac}}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(P=\sum \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{c(a+b+c)+ab}}=\sum \sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\)
\(\leq \sum \frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy $P_{\max}=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ac\ge12,bc\ge8\). Tìm giá trị nhỏ nhất (nếu có) của biểu thức:
\(D=a+b+c+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)+\dfrac{8}{abc}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)
Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:
\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)
Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3.
Tìm Min của: \(A=\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{6abc}{ab+bc+ac}\)
a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1. CMR: \(\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ca}{c+a}+\dfrac{c+ab}{a+b}>=2\)
Lời giải:
$\text{VT}=\frac{a(a+b+c)+bc}{b+c}+\frac{b(a+b+c)+ac}{a+c}+\frac{c(a+b+c)+ab}{a+b}$
$=\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+a)(b+c)}{a+c}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(b+a)(b+c)}{a+c}\geq 2\sqrt{(a+b)^2}=2(a+b)$
$\frac{(b+c)(b+a)}{a+c}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2\sqrt{(b+c)^2}=2(b+c)$
$\frac{(a+b)(a+c)}{b+c}+\frac{(c+a)(c+b)}{a+b}\geq 2\sqrt{(c+a)^2}=2(a+c)$
Cộng các BĐT trên theo vế và thu gọn:
$\text{VT}\geq 2(a+b+c)=2$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
Cho a;c;b;d là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c+d=\(1\)
Tìm Min của: \(A=\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}+\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\)
Giúp mk với huhu. Mk cảm ơn....
Cho các số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
\(P=\sqrt{\dfrac{a}{a+bc}}+\sqrt{\dfrac{b}{b+ac}}+\sqrt{\dfrac{c}{c+ab}}\)
Thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ hay $a+b+c=1$ vậy bạn?
Cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: a+b+c=3.
Tìm Max của: \(A=\dfrac{1}{a+3}+\dfrac{1}{b+3}+\dfrac{1}{c+3}-\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ac\right)}\)
Nhờ các bạn Giúp mk với ạ Mk xin cảm ơn
Đặt ab + bc + ca = q; abc = r. Ta có:
\(A=\dfrac{\left(ab+bc+ca\right)+6\left(a+b+c\right)+27}{abc+3\left(ab+bc+ca\right)+9\left(a+b+c\right)+27}-\dfrac{1}{3\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(A=\dfrac{q+33}{r+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\).
Theo bất đẳng thức Schur: \(a^3+b^3+c^3+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9r\ge4q-1\Leftrightarrow r\ge\dfrac{4q-1}{9}\).
Từ đó \(A\le\dfrac{q+33}{\dfrac{4q-1}{9}+3q+36}-\dfrac{1}{3q}\)
\(\Rightarrow A\leq \frac{27q^2+860q-323}{93q^2+969q}\)
\(\Rightarrow A+\dfrac{1}{10}=\dfrac{\left(3q-1\right)\left(121q+3230\right)}{30q\left(31q+323\right)}\le0\). (Do \(q=ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\dfrac{1}{3}\))
\(\Rightarrow A\leq \frac{-1}{10}\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Tìm GTLN của A = \(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\)
Áp dụng bđt Svácxơ, ta có:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Áp dụng, thay vào A, ta có:
\(A\le\text{Σ}\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "="⇔\(a=b=c=1\)