a) $A=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+....+3^{28}+3^{29}+3^{30}$

$\iff A=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+....+\left(3^{28}+3^{29}+3^{30}\right)$

$\iff A=3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+....+3^{28}\left(1+3+3^2\right)$

$\iff A=3.13+3^4.13+....+3^{28}.13$

$\iff A=13\left(3+3^4+....+3^{28}\right)⋮13\left(dpcm\right)$

b) $A=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+....+3^{25}+3^{26}+3^{27}+3^{28}+3^{29}+3^{30}$

$\iff A=\left(3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6\right)+....+\left(3^{25}+3^{26}+3^{27}+3^{28}+3^{29}+3^{30}\right)$

$\iff A=3\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)+....+3^{25}\left(1+3+3^2+3^3+3^4+3^5\right)$

$\iff A=3.364+....+3^{25}.364$

$\iff A=364\left(3+3^5+3^{10}+....+3^{25}\right)$

$\iff A=52.7\left(3+3^5+3^{10}+....+3^{25}\right)⋮52\left(dpcm\right)$

A = 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30

3 A = 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30 + 3 31

2A = 3A – A =  ( 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30 + 3 31 )  –  ( 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + . . . + 3 30 )

2A =  3 31 - 1

A =  3 31 - 1 2

Ta có  3 1 = 3 ; 3 3 = 9 ; 3 3 = 27 ; 3 4 = 81 ; 3 5 = 243

với n ≥ 0 thì  3 4 n + 3 có chữ số tận cùng là 7.Vì  31 = 4.7 + 3 nên  3 31 có chữ số tận cùng là 7. Do đó  3 31 - 1 2  có chữ số tận cùng là 3. Mà không có số nào bình phương lên có chữ số tận cùng là 3 nên A không là số chính phương.

Tìm chữ số tận cùng của A, từ đó suy ra A không phải số chính phương

a) x²-y²=45 =>(x-y)(x+y)=45. Vì x,y là các số tự nhiên và x-y<x+y nên ta có thể viết:

(x-y)(x+y)=3.15 hay (x-y)(x+y)=5.9

=>x-y=3 và x+y=15 hay x-y=5 và x+y=9.

=>x=9 và y=6 (đều loại) hay x=7 và y=2 (đều thỏa mãn).

- Vậy x=7, y=2.

b) - Sửa lại đề: S=1+3+3²+3³+...+3³⁰.

=(1+3+3²)+(3²+3³+3⁴+3⁵)+...+(3²⁷+3²⁸+3²⁹+3³⁰).

=13+3²(1+3+3²+3³)+...+3²⁷(1+3+3²+3³)

=13+3².40+...+3²⁷.40

=13+40.(3²+...+3²⁷) chia 5 dư 3.

- Mà các số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là 0.1.4.5.6.9 nên số chính phương chia 5 dư 0;1;4.

- Vậy S không phải là số chính phương.

Giải:

S=\(\dfrac{1}{31}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{33}+...+\dfrac{1}{60}\) 

Có 30 phân số; chia làm 3 nhóm

S<\(\left(\dfrac{1}{30}+...+\dfrac{1}{30}\right)+\left(\dfrac{1}{40}+...+\dfrac{1}{40}\right)+\left(\dfrac{1}{50}+...+\dfrac{1}{50}\right)\) 

S<\(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}\) 

S<\(\dfrac{47}{60}< \dfrac{48}{60}=\dfrac{4}{5}\) 

⇒S<\(\dfrac{4}{5}\) (đpcm)

Chúc bạn học tốt!

S = (1/31+1/32+1/33+...+1/40) + (1/41 + 1/42 + ...+ 1/50) + (1/51 + 1/52+...+1/59+1/60)

Mà : (1/31+1/32+1/33+...+1/40) > 1/40 x 10 = 1/4 (gồm 10 số hạng)

Tương tự ta có : (1/41 + 1/42 + ...+ 1/50) > 1/5 ;   (1/51 + 1/52+...+1/59+1/60) > 1/6

S > 1/4 + 1/5 + 1/6.

Mà khi đó ta thấy: (1/4 + 1/5 + 1/6) > 3/5

=>S > 3/5                             (1)

S = (1/31+1/32+1/33+...+1/40) + (1/41 + 1/42 + ...+ 1/50) + (1/51 + 1/52+...+1/59+1/60)

Do : (1/31+1/32+1/33+...+1/40) < 1/31 x 10 = 10/30 = 1/3 (gồm 10 số hạng)

=> S <  4/5                             (2)

Từ (1) và (2) => 3/5 <S<4/5

Ta có: \(S=1+3^1+3^2+3^3+...+3^{2017}+3^{2018}\)

\(=\left(1+3^1+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{2016}+3^{2017}+3^{2018}\right)\)

\(=13+3^3\cdot13+...+3^{2016}\cdot13\)

\(=13\cdot\left(1+3^3+...+3^{2016}\right)⋮13\)(đpcm)

a)

\(3S=3^2+3^3+...+3^{81}\)

\(3S-S=\left(3^2+3^3+...+3^{81}\right)-\left(3+3^2+...+3^{80}\right)\)

\(2S=3^{81}-3\)

\(S=\dfrac{3^{81}-3}{2}\)

b) sai đề?

c)

\(S=\left(3^1+3^2+...+3^4\right)+\left(3^5+3^6+...+3^8\right)+...+\left(3^{77}+3^{78}+3^{79}+3^{80}\right)\)

\(S=3^1\left(1+3+9+27\right)+3^5\left(1+3+9+27\right)+...+3^{77}\left(1+3+9+27\right)\)

\(S=\left(3^1+3^5+...+3^{77}\right)\cdot40\)

Do đó S chia hết cho 40

a) S = 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁷⁹ + 3⁸⁰

⇒ 3S = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3⁸⁰ + 3⁸¹

⇒ 2S = 3S - S

= (3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3⁸⁰ + 3⁸¹) - (3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁷⁹ + 3⁸⁰)

= 3⁸¹ - 3

⇒ S = (3⁸¹ - 3)/2

b) S = 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁷⁹ + 3⁸⁰

= (3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵) + (3⁶ + 3⁷ + 3⁸ + 3⁹ + 3¹⁰) + ... + 3⁷⁶ + 3⁷⁷ + 3⁷⁸ + 3⁷⁹ + 3⁸⁰)

= 3(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴) + 3⁶(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴) + ... + 3⁷⁶(1 + 3 + 3² + 3³ + 3⁴)

= 3.121 + 3⁶.121 + ... + 3⁷⁶.121

= 121.(3 + 3⁶ + ... + 3⁷⁶)

= 11.11(3 + 3⁶ + ... + 3⁷⁶) ⋮ 11

Vậy S ⋮ 11

c) S = 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3⁷⁹ + 3⁸⁰

= (3 + 3² + 3³ + 3⁴) + (3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸) + ... + (3⁷⁷ + 3⁷⁸ + 3⁷⁹ + 3⁸⁰)

= 3(1 + 3 + 3² + 3³) + 3⁵(1 + 3 + 3² + 3³) + ... + 3⁷⁷(1 + 3 + 3² + 3³)

= 3.40 + 3⁵.40 + ... + 3⁷⁷.40

= 40(3 + 3⁵ + ... + 3⁷⁷) ⋮ 40

Vậy S ⋮ 40