Gọi tọa độ điểm H(a;b)

Ta có:  A H → = a + 1 ; b − 1 ,   B H → = a ; b − 2 ,   B C → = 1 ; − 1 ,   A C → 2 ; 0

Do H là trực tâm tam giác ABC nên:

A C → . B H → = 0 B C → . A H → = 0 ⇒ 2. a + 0. b − 2 = 0 1. a + 1 − 1. b − 1 = 0 ⇒ a = 0 b = 2

Vậy H (0; 2).

Chọn A

Ta có: \(AC^2+BC^2=\left(a\sqrt{2}\right)^2+\left(a\sqrt{3}\right)^2=2a^2+3a^2=5a^2\)

\(AB^2=\left(a\sqrt{5}\right)^2=5a^2\)

=> \(AB^2=AC^2+BC^2\)

=> Tam giác ABC vuông tại C (định lí Pytago đảo)

Gọi \(C\left(x;y\right)\) và G là trọng tâm tam giác

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x+5}{3}\\y_G=\dfrac{y-5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(\dfrac{x+5}{3}\right)-\dfrac{y-5}{3}-8=0\)

\(\Leftrightarrow3x-y-4=0\) \(\Rightarrow y=3x-4\Rightarrow C\left(x;3x-4\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(x_C-x_A\right)\left(y_B-y_A\right)\right|\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left|5\left(3x-1\right)-\left(x-2\right)\right|\)

\(\Leftrightarrow x=...\)

Ta có:

Suy ra tam giác ABC vuông tại A do đó trực tâm H trùng với A

Vậy H( -1 ; 3)

Chọn B.

Đường thẳng BC nhận \(\overrightarrow{n}=\left(\sqrt{3};-3\right)\) là 1 vtpt

Gọi \(\overrightarrow{n_1}=\left(a;b\right)\) là 1 vtpt của AB (với a;b không đồng thời bằng 0)

Do tam giác ABC đều \(\Rightarrow\widehat{\left(n_1;\overrightarrow{n}\right)}=60^0\)

\(\Rightarrow cos\left(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n}\right)=\dfrac{\left|a\sqrt{3}-3b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{3+9}}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\sqrt{3}b\right)^2=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+3b^2-2\sqrt{3}ab=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow b^2=\sqrt{3}ab\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=\sqrt{3}a\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình 2 cạnh còn lại có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(x-2\right)+0\left(y-0\right)=0\\a\left(x-2\right)+\sqrt{3}a\left(y-0\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\x+\sqrt{3}y-2=0\end{matrix}\right.\)

Gọi đường trung tuyến kẻ từ `A` cắt `BC` tại `M`

`=>M` là trung điểm của `BC`

`=>M(2 ; 0)`

Ta có: `\vec{AM} = ( 1 ; -1)` là vtcp của `AM`

`=>\vec{n_[AM]} = ( 1 ; 1 )`

    Mà `M(2 ; 0) in AM`

  `=>` Pt của đường trung tuyến kẻ từ `A` là:

      `1 ( x - 2) + 1 ( y - 0)=0`

`<=> x + y - 2 = 0`

Gọi C(x;y) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_G=\dfrac{x+2}{3}\\y_G=\dfrac{y-6}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(\dfrac{x+2}{3}\right)-\dfrac{y-6}{3}+1=0\)

\(\Leftrightarrow3x-y+15=0\Rightarrow y=3x+15\Rightarrow C\left(x;3x+15\right)\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\left|\left(x_B-x_A\right)\left(y_C-y_A\right)-\left(x_C-x_A\right)\left(y_B-y_A\right)\right|\)

\(\Leftrightarrow3=\dfrac{1}{2}\left|-2\left(3x+19\right)-2\left(x-2\right)\right|\)

\(\Rightarrow x=...\)

Đáp án B

Do AB và BC cắt nhau tại B nên toa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình

Do đó: B( 2; -1)

Tương tự: tọa độ điểm C( 1; 9)

PT các đường phân giác góc A là:

Đặt T₁(x; y) = 2x- 6y+ 7 và T₂= 12x+ 4y-3  ta có:

T₁(B). T₁(C) < 0 và T₂(B) T₂(C) >0.

Suy ra B và C nằm khác phía so với đường thẳng 2x-6y+7= 0 và cùng phía so với đường thẳng: 12x+ 4y- 3= 0.

Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là: 2x- 6y+ 7= 0.