a) Do I thuộc đường tròn (O), AC là đường kính nên \(\widehat{AIC}=90^o\)

Xét tam giác vuông ABC, đường cao AI, ta có:

 \(BI.CI=AI^2\)

b) Ta thấy O là trung điểm AC,OM // AI (Cùng vuông góc với BC) nên OM là đường trung bình tam giác AIC.

\(\Rightarrow IM=MC\)

Xét tam giác AIM và tam giác CNM có:

\(\widehat{IMA}=\widehat{NMC}\)  (Hai góc đối đỉnh)

\(\widehat{AIM}=\widehat{CNM}\)  (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

\(\Rightarrow\Delta AIM\sim\Delta CNM\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AM}{CM}=\frac{IM}{MN}\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{CM}=\frac{CM}{MN}\Rightarrow AM.MN=CM^2\)

c) Xét tam giác vuông IAB có PA = PI (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 

nên \(\widehat{PAI}=\widehat{PIA}\Rightarrow\widehat{PBI}=\widehat{PIB}\Rightarrow PI=PB\) 

Suy ra PA = PB hay P là trung điểm AB.

Gọi P' là giao điểm của CK với AB.

Dễ thấy IH // AB nên áp dụng định lý Talet ta có:

\(\frac{IK}{BP'}=\frac{KC}{CP'}=\frac{KH}{AP'}\)

Mà IK = KH nên BP' = AP' hay P' là trung điểm của AB. Vậy \(P'\equiv P\)

Suy ra P, K, C thẳng hàng.

d) Gọi G là giao điểm của O'M với AC. Ta chứng minh \(\widehat{O'GC}=90^o\)

Thật vậy : \(\widehat{GMC}=\widehat{O'MI};\widehat{MCG}=\widehat{INM}=\frac{\widehat{IO'M}}{2}\) (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\(\Rightarrow\widehat{MCG}+\widehat{GMC}=\frac{\widehat{IO'M}}{2}+\widehat{O'MI}\)

Lại có \(\widehat{O'IM}=\widehat{O'IM}\Rightarrow2\widehat{O'MI}+\widehat{IO'M}=180^o\)

\(\Rightarrow\frac{\widehat{IO'M}}{2}+\widehat{O'MI}=90^o\Rightarrow\widehat{CMG}+\widehat{GCM}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{O'IM}+\widehat{MIO}=\widehat{GMC}+\widehat{OCM}=90^o\)

Suy ra OI là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN.

em có thể nhìn thấy tương lai của mình ở lớp 9 ra sao rồi!!! Nhìn bài giải mà sợ sởn cả tóc gáy luôn trời!

a: Xét (O) có

ΔAIC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔAIC vuông tại I

Xét ΔABC vuông tại A có AI là đường cao

nên \(AI^2=BI\cdot CI\)

a: Xét tứ giác OAMD có \(\widehat{OAM}+\widehat{ODM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMD là tứ giác nội tiếp

=>O,A,M,D cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

ΔADC nội tiếp

AC là đường kính

Do đó: ΔADC vuông tại D

=>AD\(\perp\)DC tại D

=>AD\(\perp\)BC tại D

Xét ΔABC vuông tại A có AD là đường cao

nên \(AD^2=BD\cdot CD\)

c: Xét (O) có

MA,MD là tiếp tuyến

Do đó: MA=MD

=>\(\widehat{MAD}=\widehat{MDA}\)

\(\widehat{MDA}+\widehat{MDB}=\widehat{ADB}=90^0\)

\(\widehat{MAD}+\widehat{MBD}=90^0\)(ΔDBA vuông tại D)

mà \(\widehat{MAD}=\widehat{MDA}\)

nên \(\widehat{MDB}=\widehat{MBD}\)

=>MD=MB

mà MD=MA

nên MB=MA

=>M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M,O lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MO là đường trung bình của ΔABC

=>MO//BC

Giups mình câu b thôi cũng được ạ

a: góc ADB=1/2*180=90 độ

góc EDF+góc EHF=180 độ

=>EDFH nội tiếp

b: gócBAE+góc CAE=90 độ

góc BEA+góc HAE=90 độ

mà góc CAE=góc HAE

nên góc BEA=góc BAE

=>ΔBAE cân tại B