\(\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\)

\(=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{24}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3.

Vì \(n=2k\) nên suy ra n và (n + 2) là 2 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 4.

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮8\)

Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên: \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮24\)

Vậy ta có ĐPCM

Câu A:

Ta có:
\(A=\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n}{6}+\frac{3n^2}{6}+\frac{n^3}{6}\)

\(=\frac{2n+3n^2+n^3}{6}\)

Xét tử : \(2n+3n^2+n^3=n(n^2+3n+2)=n(n^2+n+2n+2)\)

\(=n[n(n+1)+2(n+1)]=n(n+1)(n+2)\)

Vì \(n(n+1)(n+2)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)

Vì $n(n+1)$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)\vdots 2\)

\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots 2\)

Mà \((2,3)=1\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots (2.3=6)\)

Do đó: \(A=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\in\mathbb{Z}\)

Ta có đpcm.

Câu B:

Ta có:

\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{6n^3}{24}+\frac{11n^2}{24}+\frac{6n}{24}\)\(=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)

Xét mẫu:

\(n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)\)

\(=n[n^2(n+1)+5n(n+1)+6(n+1)]\)

\(=n(n+1)(n^2+5n+6)=n(n+1)[n^2+2n+3n+6]\)

\(=n(n+1)[n(n+2)+3(n+2)]\)

\(=n(n+1)(n+2)(n+3)\)

Vì $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)

\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots 3\)

Vì $n,n+1,n+2,n+3$ là 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó chắc chắn có một số chia $4$ dư $2$ , một số chia hết cho $4$

\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (2.4=8)\)

Mà $(3,8)=1$ nên \(n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (8.3=24)\)

Do đó: \(B=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}\in\mathbb{Z}\) (đpcm)

Đề bài không đúng, A chỉ nhận giá trị nguyên khi a chẵn, còn a lẻ thì A là phân số không nguyên

\(A=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{n^4}{12}+\dfrac{7n^3}{24}+\dfrac{5n^2}{12}+\dfrac{n}{5}\)

\(=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{10n^4}{120}+\dfrac{35n^3}{120}+\dfrac{50n^2}{120}+\dfrac{24n}{120}\)

\(=\dfrac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n^4+10n^3+35n^2+50n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n^4+n^3+9n^3+9n^2+26n^2+26n+24n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left[n^3\left(n+1\right)+9n^2\left(n+1\right)+26n\left(n+1\right)+24\left(n+1\right)\right]}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+9n^2+26n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+2n^2+7n^2+14n+12n+24\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+7n\left(n+2\right)+12\left(n+2\right)\right]}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+7n+12\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3n+4n+12\right)}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[n\left(n+3\right)+4\left(n+3\right)\right]}{120}\)

\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{120}\)

Để A có giá trị nguyên thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)

Thật vậy, vì A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên trong 5 số đó có 2 số chẵn liên tiếp (tích chia hết cho 8),1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 5

mà 8, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(A=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)⋮8.3.5=120\)

Vậy A có giá trị nguyên với mọi n \(\in\) N.

\(n\) chẵn \(\Rightarrow n=2k\left(k\inℤ\right)\) 

Khi đó \(P=\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\)

\(=\dfrac{k}{6}+\dfrac{k^2}{2}+\dfrac{k^3}{3}\)

\(=\dfrac{k+3k^2+2k^3}{6}\)

\(=\dfrac{k\left(2k^2+3k+1\right)}{6}\)

\(=\dfrac{k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)}{6}\)

 Nhận thấy \(k,k+1\) là 2 số nguyên liên tiếp nên \(k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮2\)

 Nếu \(k\equiv0,2\left[3\right]\) thì dễ thấy \(k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)⋮3\). Nếu \(k\equiv1\left[3\right]\) thì \(2k+1\equiv2.1+1=3\left[3\right]\) nên \(k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)⋮3\). 

 Do vậy, \(k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮6\). Suy ra đpcm.

Giải thích các bước giải:

$A=\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}$

$=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}$

$=\frac{n(n^2+3n+2)}{24}$

$=\frac{n}{24}\cdot (n^2+3n+2)$

$=\frac{n}{24}[n(n+1)+2(n+1)]$

$=\frac{n(n+1)(n+2)}{24}$

Vì $n(n+1)(n+2)$ là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho $3$

Lại có $n$ là số chẵn, nên đặt $n=2k$, ta có:

$n(n+1)(n+2)=2k(2k+1)(2k+2)=4k(k+1)(2k+1)$

Do $k(k+1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và $4k(k+1)(2k+1)$ chia hết cho 8

Vậy A chia hết cho 3 và 8, vậy A chia hết cho 24

$\Rightarrow A$ là số nguyên 

Đặt \(A=\dfrac{n^3}{24}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n}{12}=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{24}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 3 (1)

Mặt khác n chẵn \(\Rightarrow n=n\left(n+2\right)=2k\left(2k+2\right)=4k\left(k+1\right)\) 

Do \(k\left(k+1\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 2

\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)\) chia hết cho 8 hay \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 8 (2)

(1);(2) \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 24

Hay A là số nguyên với mọi n chẵn

\(\frac{a^5}{5}+\frac{a^3}{3}+\frac{7a}{15}\left(n\Rightarrow a\text{ }nha\right)=\frac{a^5}{5}+\frac{a^3}{3}+\frac{7a}{15}=\frac{a^5}{5}+\frac{a^3}{3}+\frac{15a-5a-3a}{15}=\frac{a^5-a}{5}+\frac{a^3-a}{3}+\frac{15a}{15}=\frac{a^5-a}{5}+\frac{a^3-a}{3}+a;a^k-a⋮k\left(a\in Z;1< k\in N\right)\left(fecmat\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^5-a⋮5\\a^3-a⋮3\end{matrix}\right.\Rightarrow dpcm\)

\(\frac{a}{12}+\frac{a^2}{8}+\frac{a^3}{24}\left(n\Rightarrow a\text{ nha}\right)=\frac{a^3+3a^2+2a}{24}=\frac{\left(a+2\right)\left(a+1\right)a}{24}.a=2k\left(k\in N\right)\Rightarrow;\frac{a\left(a+1\right)\left(a+2\right)}{24}=\frac{2k.\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{24}=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\Leftrightarrow k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮6\)

a, Gọi d là UCLN (n+7; n+8) (d ∈ Z)

Ta có n+7 ⋮ d ; n+8 ⋮ d ➞ (n+7) - (n+8) ⋮ d ⇒ -1 ⋮ d

⇒ d ∈ Ư (-1) = (+-1)

⇒ \(\dfrac{\left(n+7\right)}{n+8}\) là phân số tối giản 

từ đo bạn tự làm được không? 

câu b nhân mẫu lên 4 thành 4n + 8, ta có \(\dfrac{\left(4n+7\right)}{4n+8}\) rồi bạn trừ tử cho mẫu sẽ được -1

dạng này bạn chỉ cần cố gắng nhân mẫu hoặc tử hoặc cả hai để khi trừ tử cho mẫu thì được kết quả là 1 hoặc -1 là đc

Giải:

\(\dfrac{n+7}{n+8}\) 

Gọi \(ƯCLN\left(n+7;n+8\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n+7⋮d\\n+8⋮d\end{matrix}\right.\)   

\(\Rightarrow\left(n+8\right)-\left(n+7\right)⋮d\) 

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\) 

Vậy \(\dfrac{n+7}{n+8}\) là p/s tối giản

\(\dfrac{4n+7}{n+2}\) 

Gọi \(ƯCLN\left(4n+7;n+2\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+7⋮d\\n+2⋮d\end{matrix}\right.\)   \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+7⋮d\\4.\left(n+2\right)⋮d\end{matrix}\right.\)   \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+7⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+7\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\) 

Vậy \(\dfrac{4n+7}{n+2}\) là p/s tối giản

\(\dfrac{5n+12}{3n+7}\) 

Gọi \(ƯCLN\left(5n+12;3n+7\right)=d\) 

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5n+12⋮d\\3n+7⋮d\end{matrix}\right.\)   \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3.\left(5n+12\right)⋮d\\5.\left(3n+7\right)⋮d\end{matrix}\right.\)   \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+36⋮d\\15n+35⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(15n+36\right)-\left(15n+35\right)⋮d\) 

\(\Rightarrow1⋮d\) 

\(\Rightarrow d=1\) 

Vậy \(\dfrac{5n+12}{3n+7}\) là p/s tối giản

Chúc bạn học tốt!

`A=n/3+n^2/2+n^3/6`

`=(n^3+3n^2+2n)/6`

`=(n(n^2+3n+2))/6`

`=(n(n+1)(n+2))/6`

Vì `n(n+1)(n+2)` là tích 3 số nguyên liên tiếp

`=>n(n+1)(n+2) vdots 6`

`=>(n(n+1)(n+2))/6 in Z(forall x in Z)`

Bài 1: 

\(=\dfrac{3^{28}\cdot5^{10}\cdot2^{21}}{3^{24}\cdot2^{12}\cdot5^{12}\cdot3^3\cdot2^9}=\dfrac{3}{5^2}=\dfrac{3}{25}\)