Cho Sn=(\(\sqrt{5}\)+\(\sqrt{3}\))n + ( \(\sqrt{5}\)-\(\sqrt{3}\))n với n\(\in\)N*
Chứng minh: S2n=Sn2 - 2n+1. Á p dụng tính S4 và S8.
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh bất đẳng thức
Với n thuộc N, chứng minh \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}>\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\)
Sử dụng kết quả trên, chứng minh: \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2012}}< 2.\sqrt{2012}\)
Chứng minh \(\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{2n-1}{2n}< \frac{1}{\sqrt{2n+1}}\)với n thuộc N*
Cho biểu thức \(S_n=\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)^n+\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)^n\) với n nguyên dương
Chứng minh \(S_{2n}=S_n^2-2^{n+1}\) áp dụng tính \(S_4;S_8\)
a/Chứng minh rằng \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b/Áp dụng chứng minh
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{7\left(\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}+...+\frac{1}{4003\left(\sqrt{2001}+\sqrt{2002}\right)}<\frac{2001}{2003}\)
cho biểu thức Sn=(√(3)+√(2))n+(√(3)-√(2))n với n là số nguyên
a) chứng minh rằng:S2n = S2n -2
b) tính S2 ; S4
Chứng minh rằng \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với \(n\in N^{\cdot}\))
Áp dụng cho S = \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Chứng minh 18<S<19 ?
Lời giải:
Liên hợp ta thấy:
\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)
\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)
------------------------
Áp dụng vào bài toán:
\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)
\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)
Và:
\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)
\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)
Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)
Chứng minh rằng :
\(a,\sqrt{10}-\sqrt{2}=2.\sqrt{3-\sqrt{5}}\)b
\(b,\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)\) là một số tự nhiên
c CMR với n thuộc N thì \(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=\sqrt{\left(2n+1\right)^2-1}\)
Với mỗi số nguyên dương n, đặt s_{n} (2 - sqrt{3})^n + (2 + sqrt{3})^na) Chứng minh rằng: s_{n+2} 4s_{n+1} - s_{n}b) Chứng minh rằng sn là số nguyên với mọi số nguyên dương n và tìm số dư của s2018 khi chia cho 3.c) Chứng minh rằng [(2 + sqrt{3})^n] s_{n} - 1 với mọi số nguyên dương n, trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực x.
Đọc tiếp
Với mỗi số nguyên dương \(n\), đặt \(s_{n} = (2 - \sqrt{3})^n + (2 + \sqrt{3})^n\)
a) Chứng minh rằng: \(s_{n+2} = 4s_{n+1} - s_{n}\)
b) Chứng minh rằng sn là số nguyên với mọi số nguyên dương n và tìm số dư của s2018 khi chia cho 3.
c) Chứng minh rằng \([(2 + \sqrt{3})^n] = s_{n} - 1\) với mọi số nguyên dương \(n\), trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên của số thực \(x\).
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}}<2\)
Bài 2: Với mọi n thuộc N, \(n\geq 3\), chnứng minh:
\(\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+...+\frac{1}{(2n+1)(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}< \frac{1}{2}\)
a) Chứng minh: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với n \(\in\) N*)
b) Áp dụng cho S=\(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
Chứng minh 18<S<19
Giúp em với mấy anh chị ơiiiiiiiiiiii
Bạn tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của Hoa Trần Thị - Toán lớp 9 | Học trực tuyến