Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoa Trần Thị

Chứng minh rằng \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) (với \(n\in N^{\cdot}\))

Áp dụng cho S = \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}\)

Chứng minh 18<S<19 ?

Akai Haruma
31 tháng 10 2019 lúc 18:28

Lời giải:

Liên hợp ta thấy:

\(2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=2.\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(1)\)

\(2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})=2.\frac{n-(n-1)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow 2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})\)

------------------------

Áp dụng vào bài toán:

\(S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}>1+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+2(\sqrt{4}-\sqrt{3})+...+2(\sqrt{101}-\sqrt{100})\)

\(\Leftrightarrow S>1+2(\sqrt{101}-\sqrt{2})>18(*)\)

Và:

\(S< 1+2(\sqrt{2}-\sqrt{1})+2(\sqrt{3}-\sqrt{2})+....+2(\sqrt{100}-\sqrt{99})\)

\(\Leftrightarrow S< 1+2(\sqrt{100}-\sqrt{1})=19(**)\)

Từ $(*); (**)$ suy ra $18< S< 19$ (đpcm)

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Hàn Băng Di
Xem chi tiết
Hàn Băng Di
Xem chi tiết
Đào Ngọc Quý
Xem chi tiết
ĐỖ THỊ THANH HẬU
Xem chi tiết
Đoàn Đặng Bảo Trâm
Xem chi tiết
Hưng Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Ngọc Gia Hân
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết
Đinh Diệp
Xem chi tiết