a) Xét \(\Delta=\left(m+1\right)^2-2m+3=m^2+4>0,\forall m\)

Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) \(f\left(x\right)=x^2-\left(m+1\right)x+2m-3=0\)có nghiệm \(x=3\)khi và chỉ khi

\(f\left(3\right)=0\Leftrightarrow3^2-\left(m+1\right).3+2m-3=0\Leftrightarrow3-m=0\Leftrightarrow m=3\)

a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(2m-3\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m+12\)

\(=4m^2-16m+16\)

\(=\left(2m-4\right)^2>=0\)

Do đó: Phương trình luôn có nghiệm

b: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì 2m-3<0

hay m<3/2

c: Để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia thì ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1-2x_2=0\\x_1+x_2=2m-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-3x_2=-2m+2\\x_1=2x_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{2m-2}{3}\\x_1=\dfrac{4m-4}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=2m-3\)

\(\Leftrightarrow2m-3=\dfrac{2m-2}{3}\cdot\dfrac{4m-4}{3}\)

\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^2=9\left(2m-3\right)\)

\(\Leftrightarrow8m^2-16m+8-18m+27=0\)

\(\Leftrightarrow8m^2-34m+35=0\)

\(\text{Δ}=\left(-34\right)^2-4\cdot8\cdot35=36>0\)

Do đó: Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{34-6}{16}=\dfrac{28}{16}=\dfrac{7}{4}\\m_2=\dfrac{34+6}{16}=\dfrac{40}{16}=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(\Delta\)' = (a+b+c)²-3.(ab+bc+ac) = a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc-3ab-3bc-3ac = a²+b²+c² - ab-bc-ac 

2. \(\Delta\)' = ( b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)= (b-c)^2+(a-b)^2+(a-c)^2

=> \(\Delta\)'  = [( b-c)^2+(a-b)^2+(a-c)^2]/2 \(\ge\)0

<=> pt trên luôn có nghiệm với mọi a,b, c

Phương trình trên 

<=> kx² + (2 - 4k)x + (3k - 2) = 0

Ta có ∆' = (1 - 2k)² - (3k - 2)k 

= 1 - 4k + 4k² - 3k² + 2k 

= k² - 2k + 1 = (k - 1)² \(\ge0\)

Vậy pt có nghiệm với mọi k

\(k\left(x-1\right)\left(x-3\right)+2\left(x-1\right)=0\)

\(\left(x-1\right)\left[k\left(x-3\right)+2\right]=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\k\left(x-3\right)+2=0\end{cases}}\)vậy pt luôn có nghiệm x = 1  với mọi k.

Tìm 2 giá trị của x để hàm \(f\left(x\right)\) nhận kết quả trái dấu là được.

a.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(1-m^2\right)x^3-6x-1\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-1< 0\) (chọn \(x=0\) do nó làm triệt tiêu tham số m, thường sẽ ưu tiên chọn những giá trị x kiểu thế này. Ở câu này, có đúng 1 giá trị x khiến m triệt tiêu nên phải chọn thêm)

\(f\left(-1\right)=m^2-1+6-1=m^2+4>0\) với mọi m (để ý rằng ta đã có \(f\left(0\right)\) âm nên cần chọn x sao cho \(f\left(x\right)\) dương, mà \(-m^2\) nên ta nên chọn x sao cho nó chuyển dấu thành \(m^2\))

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(-1\right)< 0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc  \(\left(-1;0\right)\) với mọi m

Hay với mọi m thì pt luôn luôn có nghiệm

b.

Đặt \(f\left(x\right)=\left(m^2+m+5\right)\left(3-x\right)^{2021}x+x-4\)

\(f\left(x\right)\) là hàm đa thức nên liên tục trên R

\(f\left(0\right)=-4< 0\) 

(Tới đây, nếu ta chọn tiếp \(x=3\) để triệt tiêu m thì cho \(f\left(3\right)=-1\) vẫn âm, ko giải quyết được vấn đề, nên ta phải chọn 1 giá trị khác. Thường trong những trường hợp xuất hiện \(m^2\) thế này, cố gắng chọn x sao cho hệ số của \(m^2\) dương (nếu cần \(f\left(x\right)\) dương, còn cần \(f\left(x\right)\) âm thì chọn x sao cho hệ số \(m^2\) âm). Ở đây dễ nhất là chọn \(x=2\) , vì khi đó \(\left(3-2\right)^{2021}=1\) vừa đảm bảo hệ số \(m^2\) dương vừa dễ tính toán, nếu chọn \(x=1\) cũng được thôi nhưng quá to sẽ rất khó biến đổi)

\(f\left(2\right)=\left(m^2+m+5\right).\left(3-2\right)^{2021}.2+2-4=2\left(m^2+m+5\right)-2\)

 \(=2m^2+2m+8=2\left(m+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{2}>0;\forall m\)

\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(2\right)< 0;\forall m\Rightarrow\) hàm luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;2\right)\) với mọi m

Hay pt đã cho luôn có nghiệm với mọi m

Dạ em cảm ơn thầy nhiều ạ!

m( x² - 4x + 3 ) + 2( x - 1 ) = 0

<=> mx² - 4mx + 3m + 2x - 2 = 0

<=> mx² - 2( 2m - 1 )x - 2 = 0

ĐKXĐ : m ≠ 0

Δ = b² - 4ac = [ -2( 2m - 1 ) ]² + 8

= 4( 2m - 1 )² + 8

Dễ thấy Δ ≥ 8 > 0 ∀ m

hay pt luôn có nghiệm với mọi m ≠ 0 ( đpcm )