Question

Chứng minh rằng phương trình \(2x^2+2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)luôn có nghiệm với mọi giá trị a,b,c.

Answer 1

\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-ab-ac-bc\)

\(\Delta'=a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc=\dfrac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2ac+2bc\right)\)

\(\Delta'=\dfrac{1}{2}\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]\ge0\) \(\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow\) pt luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Answer 2

À xin lỗi, ko để ý hệ số 2 của \(x^2\) :D, có số 2 thì biến đổi dễ hơn nhiều:

\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow\Delta'=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2bc-2ac\)

\(\Rightarrow\Delta'=a^2+b^2+c^2\ge0\) \(\forall a,b,c\)

Vậy pt đã cho luôn luôn có nghiệm với mọi a, b ,c