Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

1. Công thức nghiệm thu gọn

Xét phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\):

Trong một số trường hợp, đặt \(b=2b'\), ta có: \(\Delta=b^2-4ac=4b'^2-4ac=4\left(b'^2-ac\right)\).

Đặt \(\Delta'=b'^2-ac\) \(\Rightarrow\Delta,\Delta'\) cùng dấu và \(\Delta=4\Delta'\).

Khi đó:

+) Nếu \(\Delta>0\) (hay \(\Delta'>0\)): phương trình có hai nghiệm phân biệt có dạng 

\(\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2b'\pm\sqrt{4\Delta'}}{2a}=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}\)

+) Nếu \(\Delta=0\) (hay \(\Delta'=0\)): Phương trình có nghiệm kép 

\(x_1=x_2=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2b'}{2a}=-\dfrac{b'}{a}\)

+) Nếu \(\Delta< 0\) (hay \(\Delta'< 0\)): Phương trình vô nghiệm.

Tổng quát, ta có công thức nghiệm thu gọn như sau:

Đối với phương trình \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\), đặt \(b=2b',\Delta'=b'^2-ac\):

• Nếu \(\Delta'>0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\), \(x_2=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}\).
• Nếu \(\Delta'=0\) thì phương trình có nghiệm kép \(x_1=x_2=-\dfrac{b'}{a}\).
• Nếu \(\Delta'< 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Chú ý: Ta thường dùng công thức nghiệm thu gọn trong các phương trình có hệ số \(b\) chẵn.

2. Áp dụng

Ta có thể dùng công thức nghiệm thu gọn để giải phương trình bậc hai theo các bước:

• Bước 1: Đưa phương trình về dạng \(ax^2+bx+c=0\left(a\ne0\right)\).
• Bước 2: Tính \(b',\Delta'\).
• Bước 3: Dựa vào dấu của \(\Delta'\) để kết luận nghiệm của phương trình.

Ví dụ 1: Giải phương trình \(5x^2+4x-1=0\)

Ta có \(b'=\dfrac{4}{2}=2\) \(\Rightarrow\Delta'=2^2-5.\left(-1\right)=9>0\)

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x_1=\dfrac{-2+\sqrt{9}}{5}=\dfrac{1}{5};x_2=\dfrac{-2-\sqrt{9}}{5}=1\).

Ví dụ 2: Giải phương trình \(3x^2+8x+6=0\)

Ta có \(b'=\dfrac{8}{2}=4\Rightarrow\Delta'=4^2-3.6=-2< 0\)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Nhận xét: Ta cũng có thể dùng công thức nghiệm thu gọn để giải một số bài toán tham số tương tự như cách dùng công thức nghiệm tổng quát ở bài trước.