Ta có: x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x²-y²)(x²+y²)

                                        =xy(x-y)(x+y)(x²+y²)

Ta cần cm bt trên chia hết cho 2,3 và 5

Nếu x,y cùng tính chẵn lẻ thì x-y chẵn=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2   (1)

Nếu x,y không cùng tính chẵn lẻ thi x+y chẵn=>2   (2)

Từ (1) và (2)=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 2 với mọi x,y nguyên (13)

Nếu x hoặc y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3  (3)

Nếu x và y chia 3 có cùng số dư thì x-y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 (4)

Nếu x,y chia 3 không cùng số dư thi x+y chia hết cho 3=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3   (5)

Từ (3),(4) và (5)=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 3 với mọi x,y nguyên  (14)

Nếu x hoặc y chia hết cho 5 thì x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (6)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 2 và ngược lại thì x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (7)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 3 

và ngược lại thì x+y  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (8)

Nếu x chia 5 dư 3, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì 

x²+y²  chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5  (9)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x+y chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (10)

Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 3 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (11)

Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x²+y² chia hết cho 5

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5   (12)

Từ (6),(7),(8),(9),(10),(11)và (12)

=> x⁵y-xy⁵ chia hết cho 5 với mọi x,y nguyên (15)

Từ (13),(14) và (15) Mà (3;4;5)=1

=>x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30 với mọi x,y nguyên

=>đpcm

Bài 1:

x⁵y-xy⁵=xy(x⁴-y⁴)=xy(x⁴-1+y⁴+1)

=xy(x⁴-1)-xy(y⁴-1)=xy(x²-1)(x²+1)-xy(y²-1)(y²+1)

=xy(x-1)(x+1)(x²+1)-xy(y-1)(y+1)(y²-1)

Mà:xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết 2;3;5

=>xy(x-1)(x+1)(x²+1) chia hết cho 30

Cmtt:xy(y-1)(y+1)(y²+1) chia hết cho 30

Nên x⁵y-xy⁵ chia hết cho 30

Bài 2:

       x²+y²+z²=y(x+z)

<=>x²+y²+z²-yx-yz=0

<=>2x²+2y²+2z²-2yx-2yz=0

<=>(x – y)² + (y – z)² + x² + z² = 0

<=>x – y = y – z = x = z = 0

<=>x=y=z=0

https://phatman80.violet.vn/present/de-thi-hsg-toan8-lang-son-2011-2012-7891796.html

a) x(x² + x) + x(x + 1)

= x²(x + 1) + x(x + 1)

= (x + 1)(x² + x)

= x(x + 1)² ⋮ (x + 1)

b) xy² - yx² + xy

= xy(y - x + 1) ⋮ xy

Đặt A = 2x + 3y; B = 9x + 5y

Xét biểu thức: 9A - 2B = 9.(2x + 3y) - 2.(9x + 5y)

= (18x + 27y) - (18x + 10y)

= 18x + 27y - 18x - 10y

= 17y

+ Nếu A chia hết cho 17 thì 9A chia hết cho 17; 17y chia hết cho 17

=> 2B chia hết cho 17

Mà (2;17)=1 => B chia hết cho 17

+ Nếu B chia hết cho 17 thì 2B chia hết cho 17; 17y chia hết cho 17 => 9A chia hết cho 17

Mà (9;17)=1 => A chia hết cho 17

Vậy với mọi x,y thuộc Z ta có: 2x + 3y chia hết cho 17 <=> 9x + 5y chia hết cho 17 (đpcm)

vậy đều ngược lại có đúng hay không

a)  a,2x+6y chia hết cho 2

= 2(x+3y ) chia hết cho 2 vì 2 chia hết cho 2 nên 2 nhân với sô nào cũng chia hết cho 2

b,5x+10y chia hết cho 5

= 5(x+2y) chia hết cho 5 vì 5 chia hết cho 5 nên 5 nhân với sô nào cũng chia hết cho 5

\(A=x^5y-xy^5=xy\left(x^4-y^4\right)=xy\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

\(A=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)

Thây vì c/m A chia hết cho 30 ta chia nhỏ 30 =2.3.5

1)c/m A chia hết cho

1.1)nếu x hoặc y chẵn hiển nhiên

1.2 x và y lẻ => x-y phải chẵn {tổng đại số hai số lẻ là số chẵn}

=> A chia hết cho 2

2)c/m A chia hết cho 3

2.1)nếu x hoặc y =3k hiển nhiên

2.2 x=3k+1 và y=3t+1 => (x-y)=3(k-t) hiển nhiên chia hết cho 3

2.3 x=3k+1 và y=3t+2 => (x+y) =3(k+t+1) hiển nhiên chia hết cho 3

x,y vai trò như nhau => A chia hết cho 3 (**)

3)

c/m A chia hết cho 5

3.1)nếu x hoặc y =5k hiển nhiên

3.2 x=5k+1 và y=5t+1 => (x-y)=5(k-t) hiển nhiên chia hết cho 5

3.3 x=5k+1 và y=5t+2 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+1) hiển nhiên chia hết cho 5

3.4 x=5k+1 và y=5t+3 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+2) hiển nhiên chia hết cho 5

3.5 x=5k+1 và y=5t+4 => (x^2-y^2) =5(5k^2-5t^2-2k+2t-3) hiển nhiên chia hết cho 5

x,y vai trò như nhau các trường hợp khác tương tự => A chia hết cho 5 (**)

Kết luận

A chia hết cho 2,3,5 mà 2,3,5, nguyên tố => A chia hết cho 2.3.5 =30=> dpcm

Ta có :

2x + 6y = 2x + 2.3y = 2.(x + 3y) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên x và y

Ta có:

2x + 6y = 2.3y.(x + 3y) chia hết cho mọi số tự nhiên x và y