chứng minh các bất đẳng thức a^2+b^2+c^2+d^2+4 >=2.(a+b+c+d)
Những câu hỏi liên quan
Cho a,b,c,d là các số thực. Chứng minh rằng a^2+b^2>=2ab(1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau
a) (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=8abc
b) (a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)>=256abcd
(a^2+b^2)/2>=ab
<=>(a^2+b^2)>=2ab
<=> a^2+2ab+b^2>=2ab
<=>a^2+b^2>=0(luôn đúng)
=> điều phải chứng minh.
Đúng 0
Bình luận (0)
Xét hiệu: \(a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
Dấu "=" xra <=> a = b
Áp dụng ta có:
a) \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
dấu "=" xra <=> a = b = c = 1
b) \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\left(d^2+4\right)\ge4a.4b.4c.4d=256abcd\)
Dấu "=" xra <=> a = b= c = d = 2
Đúng 0
Bình luận (0)
a) Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{cases}}\)
nhân theo 3 vế BDDT ta đc:
( a^2+1) (b^2+1)(c^2+1) >= 2a.2b.2c = 8abc
"=" <=> a=b=c
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d là các số thực. Chứng minh rằng a^2+b^2>=2ab(1). Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau
a) (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)>=8abc
b) (a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)(d^2+4)>=256abcd
a ) Áp dụng BĐT phụ \(a^2+b^2\ge2ab\) cho các cặp số thực , ta có :
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b ) Làm tương tự như a )
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
a) Lại có : \(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\)
cmtt \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge2a.2b.2c=8abc\left(dpcm\right)\)
b) Tiếp tục có \(\left(a-2\right)^2\ge0\Leftrightarrow...\Leftrightarrow a^2+4\ge4a\)
CMTT: \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b^2+4\ge4b\\c^2+4\ge4c\end{matrix}\right.\)
Nhân vế theo vế ta đc: \(\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)\ge4a.4b.4c=256abc\left(dpcm\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh bất đẳng thức: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{d}=\dfrac{\left(a+c\right)^2}{b+d}\) (a,b,c,d là số dương).
Cho các số a, b, c, d > 0 và các bất đẳng thức sau :
(1) 5ad(1 - b2) > 1 (2) 32bc(1 - c2) > 5
(3) 4ac(1 - d2) > 7 (4) 14bd(1 - a2) > 1
Chứng minh rằng trong các bất đẳng thức trên luôn có ít nhất một bất đẳng thức sai.
Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{b+d}\)
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\sqrt{a^2+b^2}-\sqrt{c^2+d^2}\le\sqrt{\left(a+c\right)^2-\left(b+d\right)^2}\)
Chứng minh bất đẳng thức; a2 + b2 + c2 + d2 >a + b + c + d - 1
Chứng minh bất đẳng thức:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge a\left(b+c+d\right)\)
Ai giúp mình với
Ta có : 4( b² + c² + d² + e²) ≥( b + c + d +e )² ( dễ lắm, bạn tự cm lấy nhé, )
=> ( b² + c² + d² + e²) ≥ ( b + c + d +e )²/4 (*)
G/s bdt đề bài đúng, ta có:
<=> a² + b²+ c² + d²+ e² - a(b + c + d +e) ≥ 0
Lại có ( *) => ta có : a² + b²+ c² + d² + e² - a(b + c + d +e) ≥ a² + ( b + c + d +e )²/4 - a(b + c + d +e)
<=> [ a - ( b + c+ d +e)/2]² => hiển nhiên đúng
Vậy ta có dpcm.
Với cách này ta cũng có thể chứng minh các bdt tương tự với 3 biến, 4 biến v.v....
Chúc bạn học giỏi, chào bạn!
Đúng 0
Bình luận (0)
Dùng bất đẳng thức Schwarz chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(VT=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)
\(=\dfrac{a^2}{ab+ca}+\dfrac{b^2}{ab+bc}+\dfrac{c^2}{ca+bc}\ge\left(Schwarz\right)\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Mà theo Cô-si ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2\ge2ab\\b^2+c^2\ge2bc\\c^2+a^2\ge2ca\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) (hằng đẳng thức)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c
Đúng 0
Bình luận (1)
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
=> a = (y + z - x) / 2 ; b = (x + z - y) / 2 ; c = (x + y - z) / 2
=> P = a/b+c + b/c+a + c/a+b = (y + z - x) / 2x + (x + z - y) / 2y + (x + y - z) / 2z
= 1/2. (y/x + z/x - 1 + x/y + z/y - 1 + x/z + y/z - 1) = 1/2. (x/y + y/x + x/z + z/x + y/z + z/y - 3)
Áp dụng BĐT A/B + B/A ≥ 0 hoặc Cô-si cũng được
=> P ≥ 1/2. (2 + 2 + 2 - 3) = 3/2 (đpcm)
Dấu = xảy ra <=> x = y = z <=> b+c = c+a = a+b <=> a = b = c
Đúng 0
Bình luận (0)