cho tam giác ABCD cân tại A, AH là đường cao. M,N lần lượt là trung điểm AB,AC
a/ Chứng minh BMNC là hình thang cân
b/ Gọi K là đối xứng H qua N. Chứng minh AKCH là hình bình hành
Chứng minh AKHB là hình bình hành
c/ Chứng minh MN, AH, BK đồng quy
a) Xét ΔABC có
\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\left(AM=AN;AB=AC\right)\)
Do đó: MN//BC(Định lí Ta lét đảo)
Xét tứ giác BMNC có MN//BC(gt)
nên BMNC là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)
Hình thang BMNC(MN//BC) có \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(ΔABC cân tại A)
nên BMNC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
b) Xét tứ giác AKCH có
N là trung điểm của đường chéo HK(gt)
N là trung điểm của đường chéo AC(Gt)
Do đó: AKCH là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Ta có: AHCK là hình bình hành(cmt)
nên AK//HC và AK=HC(1)
Xét ΔABH vuông tại H và ΔACH vuông tại H có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
AH chung
Do đó: ΔABH=ΔACH(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: BH=CH(hai cạnh tương ứng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AK//BH và AK=BH
Xét tứ giác AKHB có
AK//BH(cmt)
AK=BH(cmt)
Do đó: AKHB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Cho hình thang ABCD có AB//CD (AB<CD), M là trung điểm AD. Qua M vẽ đường thẳng // với 2 đáy của hình thang cắt 2 đường chéo BD và AC lần lượt tại E,F.
a) Chứng minh N, E, F lần lượt là trung điểm của BC, BD, AC
b) Gọi I là trưng điểm AB, đường thẳng vuông góc với IE cắt với nhau tại E và đường thẳng vuông góc với IF tại F cắt nhau tại K. Chứng minh KC=KD
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy M, N lần lượt là trung điểm của OD, OB, E là giao điểm của AM và CD, F là giao điểm của CN và AB.
a) Chứng minh AMCN là hình bình hành.
b) Chứng minh DE = BF
a: ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
=>OB=OD
Ta có: OM=1/2OD
ON=1/2OB
mà OD=OB
nên OM=ON
=>O là trung điểm của MN
Xét tứ giác AMCN có
O là trung điểm chung của AC và MN
Do đó: AMCN là hình bình hành
b: AMCN là hình bình hành
=>AM=CN và AM//CN và AN//CM và AN=CM
AM//CN
mà E thuộc tia đối của tia MA và F thuộc tia đối của tia NC
nên AE//CF
Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AF//CE
Do đó: AECF là hình bình hành
=>AF=CE
AF+FB=AB
CE+ED=CD
mà AF=CE và AB=CD
nên DE=BF
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi M, N lần lượt là trung điểm OB, OD
a) Chứng minh AMCN là hình bình hành
b) Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để AMCN là hình chữ nhật
c) AN cắt CD tại E, CM cắt AB tại tâm O. Chứng minh rằng E và F đối xứng với nhau qua tâm O
Cho hình bình hành ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các đoạn OA, OB, OC, OD
1) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành
2) Chứng minh rằng các tứ giác ANCQ, BPDM là các hình bình hành
1) Vì ABCD là hình bình hành
=> OA=OC, OB=OD
Ta có: OM=OA/2
OP=OC/2
Mà OA=OC => OM=OP
Cm tương tự ta được OQ=ON
Tứ giác MNPQ có OM=OP. OQ=ON
=> MNPQ là hình bình hành
2) Tứ giác ANCQ có OA=OC (cmt), OQ=ON (cmt)
Suy ra tứ giác ANCQ là hình bình hành
Tứ giác BPDM có OB=OD (cmt), OM=OP (cmt)
Suy ra tứ giác BPDM là hình bình hành
1 , Cho hình vuông ABCD có góc A = góc D = 90 độ và cạnh AB = \(\frac{1}{2}\)CD . H là hình chiếu vuông góc của D lên canh AC . Điểm M , N là trung điểm của HC và HD
a , Chứng minh rằng ABMN là hình bình hành .
b , Chứng minh rằng N là trực tâm của tam giác AMD
c , Chứng minh rằng góc BMD = 90 độ
d , Biết CD = 16 cm , AD = 6 cm . Tính diện tích hình thang ABCD .
2 , Cho hình bình hành ABCD có góc A < 90 độ . Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại O . Vẽ DE , DF lần lượt vuông góc với AB và BC . Chứng minh rằng tam giác EOF cân.
3 , Cho hình thang ABCD có góc A = 60 độ . Trên tia AD lấy M , trên tia Bc lấy N sao cho AM = DN
a , Chứng minh rằng tam giác ADM = tam giác DBN
b , Chứng minh rằng góc MBN = 60 độ
c , Chứng minh rằng tam giác BNM đều .
4 , Cho hình vuông ABCD , vẽ góc xAy = 90 độ . Ax cắt BC ở M , Ay cắt CD ở N
a , Chứng minh rằng tam giác MAN vuông cân
b , Vẽ hình bình hành AMFN có O là giao điểm 2 đường chéo . Chứng minh rằng OA = OC = \(\frac{1}{2}\) AF và tam giác ACF vuông tại C .
5 , Cho hình vuông ABCD . Trên BC lấy điểm E . Từ A kẻ vuông góc với AE cắtt CD tạ F . Gọi I là trung điểm của EF . M là giao điểm của AI và CD . Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AI tại N .
a , Chứng minh rằng MENF là hình thang
b , Chứng minh rằng chu vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC .
Cho hình chữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O
a) biết AB= 4cm, BC= 3cm. Tính BD,AO
b) Kẻ AH vuông góc với BD. Gọi M,N,I lần lượt là trung điểm AH,DH,BC. Chứng minh MN=BI
c) chứng minh BM // IN
d) Chứng minh góc ANI= 90o
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ AI, CK cùng vuông góc với BD.
a) Chứng minh tam giác AID bằng tam giác CKB
b) Chứng minh tứ giác AICK là hình bình hành
c) Gọi O là trung điểm của BD, tia AI cắt BC tại M, tia CK cắt AD tại N. Chứng minh 3 điểm M,O,N thẳng hàng
Cho hình chữ nhật ABCD. Vẽ AI, CK cùng vuông góc với BD.
a) Chứng minh tam giác AID bằng tam giác CKB
b) Chứng minh tứ giác AICK là hình bình hành
c) Gọi O là trung điểm của BD, tia AI cắt BC tại M, tia CK cắt AD tại N. Chứng minh 3 điểm M,O,N thẳng hàng
HELP ME PLS
