tính hệ số \(x^2\)trong khai triển biểu thức \(\left(x+\dfrac{2}{x}\right)^{10}\)
1. Tìm hệ số của số hạng \(x^4\) trong khai triển \(\left(x-3\right)^9\)
2. Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^{12}y^{13}\) trong khai triển \(\left(2x+3y\right)^{25}\)
3. Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^4\) trong khai triển \(\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right)^{12}\)
4. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \(\left(x^2-\dfrac{1}{x}\right)^6\)
5. Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển \(\left(x+\dfrac{1}{x^4}\right)^{10}\)
Tìm hệ số của x4 trong khai triển Newton của biểu thức \(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^n\) ( x khác 0) biết rằng n là số nguyên dương thỏa mản đẳng thức
\(2C^1_n+3C^2_n+4C^3_n+...+\left(n+1\right)C^n_n=111\)
Xét khai triển:
\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)
\(\Leftrightarrow x\left(1+x\right)^n=C_n^0x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}\)
Đạo hàm 2 vế:
\(\left(1+x\right)^n+nx\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^0+2C_n^1x+3C_n^2x^2+...+\left(n+1\right)C_n^nx^n\)
Thay \(x=1\)
\(\Rightarrow2^n+n.2^{n-1}=1+2C_n^1+3C_n^2+...+\left(n+1\right)C_n^n\)
\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)-1=111\)
\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)=112=2^4.7\)
\(\Rightarrow n=5\)
\(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^kx^{2k}.2^{5-k}.x^{k-5}=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k.2^{5-k}.x^{3k-5}\)
\(3k-5=4\Rightarrow k=3\Rightarrow\) hệ số: \(C_5^3.2^2\)
Trong khai triển \(\left(2x^3-\dfrac{3}{x^2}\right)^{10}\). Hãy tìm hệ số của \(x^{10}\)
\(\left(2x^3-\dfrac{3}{x^2}\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}C^k_{10}.2^k.3^{10-k}.x^{3k}.\dfrac{1}{x^{2\left(10-k\right)}}\)
\(x^{10}=\dfrac{x^{3k}}{x^{20-2k}}\Leftrightarrow3k-20+2k=10\Leftrightarrow5k=30\Leftrightarrow k=6\)
\(\Rightarrow he-so:2^k.3^{10-k}=2^6.3^4=..\)
Tìm hệ số của x13 trong khai triển \(f\left(x\right)=\left(\dfrac{1}{4}+x+x^2\right)^3\left(2x+1\right)^{15}\) thành đa thức
\(f\left(x\right)=\sum\limits^3_{i=0}C_3^i\left(x+x^2\right)^i.\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k\left(2x\right)^k\)
\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}C_3^i.C_i^jx^j.\left(x^2\right)^{i-j}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}\sum\limits^{15}_{k=0}C_{15}^k.2^k.x^k\)
\(=\sum\limits^3_{i=0}\sum\limits^i_{j=0}\sum\limits^{15}_{k=0}C_3^iC_i^jC_{15}^k\left(\dfrac{1}{4}\right)^{3-i}.2^k.x^{2i+k-j}\)
Số hạng chứa \(x^{13}\) thỏa mãn:
\(\left\{{}\begin{matrix}0\le i\le3\\0\le j\le i\\0\le k\le15\\2i+k-j=13\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(i;j;k\right)=\left(0;0;13\right);\left(1;0;12\right);\left(1;1;11\right);\left(2;0;11\right);\left(2;1;10\right);\left(2;2;9\right);\left(3;0;10\right);\left(3;1;9\right)\)
\(\left(3;2;8\right);\left(3;3;7\right)\) (quá nhiều)
Hệ số....
Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển của biểu thức : \(\left(x+\dfrac{2}{x^2}\right)^6\) ?
(x+ )6 = Ck6 . x6 – k . ()k = Ck6 . 2k . x6 – 3k
Trong tổng này, số hạng Ck6 . 2k . x6 – 3k có số mũ của x bằng 3 khi và chỉ khi
⇔ k = 1.
Do đó hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là:
2 . C16 = 2 . 6 = 12.
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton của \(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}\right)^{14}\)
Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {3x + 2} \right)^5}\)
+) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {3x + 2} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{\left( {3x} \right)^4}2 + 10.{\left( {3x} \right)^3}{2^2} + 10{\left( {3x} \right)^2}{.2^3} + 5.\left( {3x} \right){.2^4} + {2^5}\\ = 243{x^5} + 810{x^4} + 1080{x^3} + 720{x^2} + 240x + 32\end{array}\)
+) Hệ số của \({x^4}\) trong khai triển trên là: \({a_4} = 810\)
Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển \(\left(x^3+\dfrac{1}{x^2}\right)^n\) bằng 11. Tìm hệ số của \(x^7\) trong khai triển đó.
\(C_n^0+C_n^1+C_n^2=11\)
\(\Rightarrow1+n+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=11\)
\(\Leftrightarrow n^2+n-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}n=4\\n=-5\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
\(\left(x^3+\dfrac{1}{x^2}\right)^4\) có SHTQ: \(C_4^k.x^{3k}.x^{-2\left(4-k\right)}=C_4^k.x^{5k-8}\)
\(5k-8=7\Rightarrow k=3\)
Hệ số: \(C_4^3=4\)
a.Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^6\) trong khai triển \(\left(1+x^2\right)^{12}\)
b.Tìm hệ số của số hạng chứa \(x^6\) trong khai triển \(\left(2x-1\right)^{10}\)
HELP ME!