\(A=\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^4+\left|x-2y\right|+1\)

vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^4\ge0,\forall x\\\left|x-2y\right|\ge0,\forall x;y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=\left(x-\dfrac{1}{4}\right)^4+\left|x-2y\right|+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}x-\dfrac{1}{4}=0\\x-2y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\y=\dfrac{x}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{4}\\y=\dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

Vậy \(GTNN\left(A\right)=1\left(tạix=\dfrac{1}{4};y=\dfrac{1}{8}\right)\)

Ta có:

(x - 1/4)⁴ ≥ 0 với mọi x ∈ R

(x - 2y)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(x - 1/4)⁴ + (x - 2y)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(x - 1/4)⁴ + (x - 2y)² + 1 ≥ 1 với mọi x, y ∈ R

Vậy GTNN của A là 1 khi x = 1/4 và y = 1/8

Ta có:

(x - 1/4)⁴ ≥ 0 với mọi x ∈ R

(x - 2y)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(x - 1/4)⁴ + (x - 2y)² ≥ 0 với mọi x, y ∈ R

(x - 1/4)⁴ + (x - 2y)² + 1 ≥ 1 với mọi x, y ∈ R

Vậy GTNN của A là 1 khi x = 1/4 và y = 1/8

a)

\(A=4x-x^2+3=-\left(x^2-4x-3\right)=-\left(x^2-4x+4\right)+7=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Daaus = xayr ra khi: x = 2

b) \(B=4x^2-12x+15=4\left(x^2-3x+9\right)-21=4\left(x-3\right)^2-21\ge-21\)

Dấu = xảy ra khi x = 3

c) \(C=4x^2+2y^2-4xy-4y+1=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3=\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)

Dấu = xảy ra khi

2x = y và y = 2

=> x = 1 và y = 2

a) A = \(-x^2+4x+3=-\left(x-2\right)^2+7\le7\)

Dấu "=" <=> x = 2

b) \(4x^2-12x+15=\left(2x-3\right)^2+6\ge6\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=\dfrac{3}{2}\)

c) \(4x^2+2y^2-4xy-4y+1\)

= \(\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-4y+4\right)-3\)

= \(\left(2x-y\right)^2+\left(y-2\right)^2-3\ge-3\)

Dấu "=" <=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=2\end{matrix}\right.\)

a: A=(x-1)(x-3)(x²-4x+5)

\(=\left(x^2-4x+3\right)\left(x^2-4x+5\right)\)

\(=\left(x^2-4x\right)^2+8\left(x^2-4x\right)+15\)

\(=\left(x^2-4x+4\right)^2-1\)

\(=\left(x-2\right)^4-1>=-1\)

Dấu = xảy ra khi x-2=0

=>x=2

b: \(B=x^2-2xy+2y^2-2y+1\)

\(=x^2-2xy+y^2+y^2-2y+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2>=0\)

Dấu = xảy ra khi x-y=0 và y-1=0

=>x=y=1

c: \(C=5+\left(1-x\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)

\(=-\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)+5\)

\(=-\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)+5\)

\(=-\left[\left(x^2+5x\right)^2-36\right]+5\)

\(=-\left(x^2+5x\right)^2+36+5\)

\(=-\left(x^2+5x\right)^2+41< =41\)

Dấu = xảy ra khi \(x^2+5x=0\)

=>x(x+5)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-5\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT  Bunyakovsky  ta có:

    \(\left(x+2y\right)^2=\left(x+\sqrt{2}.\sqrt{2}y\right)^2\le\left(1^2+\sqrt{2}^2\right)\left[x^2+\left(\sqrt{2}y\right)^2\right]\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2y\right)^2\le3\left(x^2+2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(1\le3\left(x^2+2y^2\right)\) (do  x + 2y = 1 )

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2y^2\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "="  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x+2y=1\\\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}y}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{3}\)

Vậy  \(Min\)\(A=\frac{1}{3}\) \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{3}\)

P/s: tham khảo thôi nhé, mk ko chắc đúng (yếu phần cực trị)

\(x^2+2y^2=\left(x+2y\right)^2\) mà \(x+2y=1=>\left(x+2y\right)^2=1^2=1\)

vậy A=1

a) \(A=4x^2-12x+100=\left(2x\right)^2-12x+3^2+91=\left(2x-3\right)^2+91\)

Ta có: \(\left(2x-3\right)^2\ge0\forall x\inℤ\)

\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+91\ge91\)

hay A \(\ge91\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(2x-3\right)^2=0\)

<=> 2x-3=0

<=> 2x=3

<=> \(x=\frac{3}{2}\)

Vậy Min A=91 đạt được khi \(x=\frac{3}{2}\)

b) \(B=-x^2-x+1=-\left(x^2+x-1\right)=-\left(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)

Ta có: \(-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le\frac{5}{4}\) hay B\(\le\frac{5}{4}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy Max B=\(\frac{5}{4}\)đạt được khi \(x=\frac{-1}{2}\)

\(C=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2\)

\(C=x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+x^2+1\)

\(\Leftrightarrow C=\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\)

Ta có: 

\(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x;y\inℤ\\x^2\ge0\forall x\inℤ\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\ge1\)

hay C\(\ge\)1

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2=0\\x^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=1\\x=0\end{cases}}}\)

Vậy Min C=1 đạt được khi y=1 và x=0

2:

|x+4|>=0

=>-|x+4|<=0

=>B<=11

Dấu = xảy ra khi x=-4

Lời giải:
Ta thấy, với mọi $x,y,z$ thì:
$(x-5)^2\geq 0$

$|2x-y|\geq 0$

$|x-2y+z|\geq 0$

$\Rightarrow A\geq 0+0+0-1=-1$

Vậy $A_{\min}=-1$.

Giá trị này đạt được khi $x-5=2x-y=x-2y+z=0$

$\Leftrightarrow x=5; y=10; z=15$

Đáp án C.

Ta có:

G T ⇔ 5 x + 2 y + x + 2 y − 3 − x − 2 y = 5 x y − 1 − 3 1 − x y + x y − 1.

Xét hàm số

f t = 5 t + t − 3 − t ⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 − t ln 3 > 0   ∀ t ∈ ℝ

Do đó hàm số đồng biến trên ℝ  suy ra f x + 2 y = f x y − 1 ⇔ x + 2 y = x y − 1

⇔ x = 2 y + 1 y − 1 ⇒ T = 2 y + 1 y − 1 + y . Do x > 0 ⇒ y > 1  

Ta có:  T = 2 + y + 3 y − 1 = 3 + y − 1 + 3 y − 1 ≥ 3 + 2 3 .