\(9^{n+2}+3^{n+2}-9^n+3^n\)

\(=9^n.9^2+3^n.3^2-9^n+3^2\)

\(=9^n\left(9^2-1\right)+3^n\left(3^2+1\right)\)

\(=9^n\left(80\right)+3^n\left(10\right)\)

\(\text{Do 80 chia hết cho 10 }\Rightarrow9^n.80\text{chia hết cho 10}\)

\(\text{Do 10 chia hết cho 10}\Rightarrow3^n.10\text{chia hết cho 10}\) 

Gọi số cần tìm là A với A chia hết cho 9

Do đó A = 9k với k thuộc N.

Đặt A = abcd...

Do đó tổng các chữ số của a là (a + b + c + d + ...) = 9m với m thuộc N chia hết cho 9

=> ĐPCM

10^30=100...0 + 62 = 100...062

      (có 30 số 0)     ( có 28 số 0)

1+6+2=9

100...062 chia hết cho 2

suy ra 10^30 chia hết cho 2 và 9

mình thiếu + 62 ở cuối

Bài 5: 

b: Ta có: \(n+6⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{2;4\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;2\right\}\)

c: Ta có: \(3n+1⋮n-2\)

\(\Leftrightarrow n-2\in\left\{-1;1;7\right\}\)

hay \(n\in\left\{1;3;9\right\}\)

a) - Xét trường hợp chia hết cho 2

 + Vì n và n + 1 là hai số liên tiếp nên n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 2.

- Xét trường hợp chia hết cho 3.

+ Nếu n chia hết cho 3 thì n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 3

+ Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n + 1 chia hết cho 3 => n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 3.

+ Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3 => n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 3.

Vậy n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 2.

Mà n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 3 và 2 => n.(n+1).(2n+1) chia hết cho 6 (đpcm)

b) 10^9 + 2 = 100.....02.

Tổng các chữ số của số trên là: 1 + 0 + 0 + 0 +... + 0 + 2 = 3 => 10^9+2 chia hết cho 3(đpcm)

c) 10^10 - 1 = 99...99

Vì các chữ số của số trên đều là 9 => Nó chia hết cho 9 => 10^10 - 1 chia hết cho 9 (đpcm)

d) 10^8 - 1 = 99...9

Vì các chữ số của số trên đều là 9 => Nó chia hết cho 9 => 10^10 - 1 chia hết cho 9 (đpcm)

E) 10^8 + 8 = 10...08 

Tổng các chữ số của số trên là: 1 + 0 + 0 +... + 0 + 8 = 9 => Nó chia hết cho 9 => 10^8 + 8 chia hết cho 9 (đpcm)

Ta có:

\(n=0\) thì \(10^n-1⋮9\)

\(n=1\) thì \(10^n-1⋮9\)

Giả sử \(10^n-1⋮9\) với \(n=k\),ta sẽ chứng minh điều đó cũng đúng với \(n=k+1\)

Thật vậy:

Với n=k+1 thì \(10^n-1=10^{k+1}-1=10^k.10-1=10.\left(10^k-1\right)+9⋮9\left(đpcm\right)\)

Câu sau tương tự thôi

Ta có:

10ⁿ - 1 = 100...0 (n chữ số 0) - 1 = 99...9 (n chữ số 9) \(⋮\) 9 vì có tổng các chữ số là 9n \(⋮\) 9

10ⁿ + 8 = 10ⁿ - 1 + 9 \(⋮\) 9 vì 10ⁿ - 1 \(⋮\) 9 (đã ^c/m ở trên) và 9 \(⋮\) 9

\(3^{5n+2}+3^{5n+1}-3^{5n}=3^{5n}\left(3^2+3-1\right)=11.3^{5n}⋮11\)

\(3^{5n+2}+3^{5n+1}-3^{5n}(n\in N^*)\\=3^{5n}\cdot3^2+3^{5n}\cdot3-3^{5n}\\=3^{5n}\cdot(3^2+3-1)\\=3^{5n}\cdot11\)

Vì \(3^{5n}\cdot11\vdots11\) 

nên biểu thức \(3^{5n+2}+3^{5n+1}-3^{5n}\vdots11\)