b: Vì 1*(-1)=-1

nên (d2) vuông góc với (d3)

d1//d3

d2 vuông góc d3

Do đó: d1 vuông góc d2

c: Tọa độ giao là:

x+1=-x+3 và y=x+1

=>x=1 và y=2

Thay x=1 và y=2 vào (d1), ta được:

m^2-1+m^2-5=2

=>2m^2=2+6=8

=>m=2 hoặc m=-2

\(a,d//d_1\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+2=-2\\m\ne3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\\ b,d\perp d_2\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\left(m+2\right)=-1\Leftrightarrow m+2=-3\Leftrightarrow m=-5\\ c,d.qua.N\left(1;3\right)\Leftrightarrow x=1;y=3\Leftrightarrow3=m+2+m\\ \Leftrightarrow2m=1\Leftrightarrow m=\dfrac{1}{2}\)

\(d,\) Gọi điểm đó là \(A\left(x_1;y_1\right)\)

\(\Leftrightarrow y_1=\left(m+2\right)x_1+m\\ \Leftrightarrow y_1-mx_1-2x_1-m=0\\ \Leftrightarrow-m\left(x_1+1\right)+y_1-2x_1=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+1=0\\y_1-2x_1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=-1\\y_1=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) luôn đi qua D với mọi m

\(a,\) Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của \(\left(d\right)\) với trục hoành và trục tung

Khi \(x=0\Rightarrow y=m\Rightarrow M\left(0;m\right)\)

Khi \(y=0\Rightarrow\left(m-1\right)x+m=0\Rightarrow x=\dfrac{-m}{m-1}\Rightarrow N\left(\dfrac{-m}{m-1};0\right)\)

Gọi H là chân đg vuông góc kẻ từ O đến MN

Áp dụng HTL:

\(\dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{1^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{-m}{m-2}\right)^2}\\ \Rightarrow\dfrac{\left(m-2\right)^2}{m^2}=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow4\left(m-2\right)^2=3m^2\\ \Rightarrow4m^2-16m+16-3m^2=0\\ \Rightarrow m^2-16m+16=0\\ \Delta=256-4\cdot16=192\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{16-8\sqrt{3}}{2}=8-4\sqrt{3}\\m=\dfrac{16+8\sqrt{3}}{2}=8+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

\(b,\) Giả sử A là điểm cố định của \(y=\left(m-1\right)x+m\). Khi đó \(\left(d\right)\) luôn đi qua A với mọi m. Xét \(m=1\Rightarrow y=1\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua điểm có tung độ bằng 1

Với \(m=2\Rightarrow2=\left(2-1\right)x+2\Rightarrow x=0\)

Vậy \(\left(d\right)\) luôn đi qua điểm \(A\left(0;1\right)\)

 Gọi M,N theo thứ tự là giao điểm của  với trục hoành và trục tung

Khi 

Khi ⇒(m−1)x+m=0⇒x=−mm−1⇒N(−mm−1;0)y=0⇒(m−1)x+m=0⇒x=−mm−1⇒N(−mm−1;0)

Gọi H là chân đg vuông góc kẻ từ O đến MN

Áp dụng HTL:

Bài 2:

a: Phương trình hoành độ giao điểm là:

x-2=2-x

\(\Leftrightarrow2x=4\)

hay x=2

Thay x=2 vào (d1), ta được:

y=2-2=0

Thay x=2 và y=0 vào (d3), ta được:

2(2-m)+1=0

\(\Leftrightarrow4-2m+1=0\)

hay \(m=\dfrac{5}{2}\)