Gọi M là trung điểm BC ; N là điểm đối xứng với H qua M.

M là trung điểm của BC và HN nên BNCH là hình bình hành

\(\Rightarrow NC//BH\)

Mà \(BH\perp AC\Rightarrow NC\perp AC\)hay AN là đường kính của đường tròn ( O ) 

Dễ thấy OM là đường trung bình \(\Delta AHN\) suy ra \(OM=\frac{1}{2}AH\)

M là trung điểm BC nên OM \(\perp\)BC

Xét \(\Delta AHG\)và \(\Delta OGM\)có :

\(\widehat{HAG}=\widehat{GMO}\); \(\frac{GM}{GA}=\frac{OM}{HA}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\Delta AGH~\Delta MOG\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{AGH}=\widehat{MGO}\)hay H,G,O thẳng hàng

gọi E,F,T lần lượt là trung điểm của AB,CD,BD

Đường thẳng ME cắt NF tại S

Vì AC = BD \(\Rightarrow EQFP\)là hình thoi \(\Rightarrow EF\perp PQ\)( 1 )

Xét \(\Delta TPQ\)và \(\Delta SEF\)có : \(ME\perp AB,TP//AB\)

Tương tự , \(NF\perp CD;\)\(TQ//CD\)

\(\Rightarrow\Delta TPQ~\Delta SEF\)( Góc có cạnh tương ứng vuông góc )

\(\Rightarrow\frac{SE}{SF}=\frac{TP}{TQ}=\frac{AB}{CD}\)

Mặt khác : \(\Delta MAB~\Delta NCD\Rightarrow\frac{AB}{CD}=\frac{ME}{NF}\)( tỉ số đường cao = tỉ số đồng dạng )

Suy ra : \(\frac{ME}{NF}=\frac{SE}{SF}\)\(\Rightarrow EF//MN\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(MN\perp PQ\)

Bài 4:

bạn tự vẽ hình nhé !

Nối EN, NM, ME.  Ta có G là trọng tâm tam giác ABC nên G là giao điểm 3 đường trung tuyến , do đó E, G , C thẳng hàng.(1)

bây giờ chứng minh E,G,D thẳng hàng thì sẽ có C,G,E,D thẳng hàng.

Ta có E là trung điểm AB, N là trung điểm AC suy ra EN là đường trug bình tam giác ABC nên EN =1/2 BC và EN song2 với BC. lại có MC=1/2 BC ( M trug điểm BC)

suy ra EN = CM và EN song2 với CM từ đó ENCM là hình bình hành. 

Xét hình bình hành ENCM có D là trung điểm MN suy ra D là trug điểm EC => ED=DC.

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên EG=1/3 EC=2/3ED (vì ED=1/2 EC)

Xét tam gác ENM có ED là trung tuyến , EG=2/3 ED suy ra G là trọng âm tam giác ENM. suy ra EGD thẳng hàng (2)

TỪ 1 và 2 suy ra E,G,D,C thẳng hàng

a) Ta có: \(\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED} \)\( = 4\overrightarrow {EG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \)

Mà: \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  = 2\overrightarrow {GM} ;\) (do M là trung điểm của AB)

\(\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = 2\overrightarrow {GN} \) (do N là trung điểm của CD)

\( \Rightarrow \overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = 4\overrightarrow {EG}  + 2(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GN} ) = 4\overrightarrow {EG} \) (do G là trung điểm của MN)

b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {EB}  + \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {ED}  = \overrightarrow 0 \)

Từ ý a ta suy ra \(\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {EG} \)

c) Ta có: \(\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {EG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {EA}  = 4.(\overrightarrow {EA}  + \overrightarrow {AG} ) \Leftrightarrow  - 3\overrightarrow {EA}  = 4\overrightarrow {AG} \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AE}  = 4\overrightarrow {AG} \) hay \(\overrightarrow {AG}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)

Suy ra A, G, E thẳng hàng và \(AG  = \frac{3}{4}AE \) nên G thuộc đoạn AE.

a/ gọi OO là giao điểm của CMCM và ANAN
dễ dàng c/m ΔANB=ΔMCBΔANB=ΔMCB (c.g.c)
⟹BNAˆ=MCBˆ⟹BNA^=MCB^ ; MC=ANMC=AN
ta có: MC=ANMC=AN mà QQ là trung điểm MCMC và SS là trung điểm ANAN nên: SN=QCSN=QC
ta có:
BNAˆ+ANCˆ=BCMˆ+MCNˆ=600BNA^+ANC^=BCM^+MCN^=600
⟹ANCˆ=MCNˆ→ΔONC⟹ANC^=MCN^→ΔONC cân tại OO hay ON=OCON=OC
dễ dàng c/m AM//CNAM//CN suy ra: OMOC=OAONOMOC=OAON
mà OM=OAOM=OA, OC=ONOC=ON và SN=QCSN=QC nên:
OMOC−QN=OAON−SN→OMOG=OAOSOMOC−QN=OAON−SN→OMOG=OAOS
⟹AM//SQ⟹AM//SQ mà AM//CNAM//CN nên SQ//NCSQ//NC
⟹SQMˆ=NCMˆ⟹SQM^=NCM^
dễ dàng c/m ΔNABΔNAB có RSRS là đường trung bình nên RS//ABRS//AB
dễ dàng c/m ΔMBCΔMBC có PQPQ là đường trung bình nên PQ//BCPQ//BC
suy ra: RS//PQRS//PQ hay PQRSPQRS là hình thang
vì PQ//BCPQ//BC nên RPQˆ=600RPQ^=600 và MQPˆ=MCBˆMQP^=MCB^
ta có:SQMˆ+MQPˆ=NCMˆ+MCBˆ=600SQM^+MQP^=NCM^+MCB^=600
⟹SQPˆ=600⟹SQP^=600
hình thang PQRSPQRS có RPQˆ=SQPˆ=600RPQ^=SQP^=600 nên PQRSPQRS là hình thang cân
b/ sai đề hình như đề đúng là PQ=BC2PQ=BC2:
ta có:
ΔMBCΔMBC có PQPQ là đường trung bình nên:
PQ=BC2PQ=BC2
P/s: câu a làm dài mà câu b ngắn khiếp=))