* Xét tứ giác ABCD, ta có:

MA = MC (gt)

MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ AD // BC và AD = BC (1)

* Xét tứ giác ACBE, ta có:

AN = NB (gt)

NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE

Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

xét tam giác ADE có:

AB=DB( gt)

AC=EC (gt)

=> BC//DE ( t/c đường trung bình)

ta có: BC//DE (CMT)

AM vuông góc với BC

AM=IM

=> góc AID= góc AIE

Xét tam giác AEI và tam giác ADIcó:

góc DAI= góc EAI

AI chung 

góc AID= góc AIE (CMT)

=> tam giác  AEI = tam giác ADI (g.c.g)

=> DI=EI(2 cạnh tương ứng)

bạn tự vẽ hình nha:

Tứ giác KACB có 2 đường chéo KC và AB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên KACB là hình bình hành→KC//BC(1)

tương tự ta có AH//BC(2)

từ (1) và (2)→K, A, H thẳng hàng

mặt khác: KABC là hình bình hành nên KA=BC, tương tự AH=BC.

Vậy H đối xứng Với K qua A

a, Vì M là trung điểm AC và BE nên ABCE là hbh

b, Vì ABCE là hbh nên AE//BC;AE=BC(1)

Vì N là trung điểm AB và CF nên ACBF là hbh

Do đó AF//BC;AF=BC(2)

Từ (1)(2) ta được AE trùng AF và AE=AF

Vậy E đx F qua A

a: Xét tứ giác ABCE có 

M là trung điểm của AC

M là trung điểm của BE

Do đó: ABCE là hình bình hành

Xét tứ giác ABCD có 

AM=CM; BM=DM => ABCD là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AD//=BC

Xét ứ giác ACBE có

AN=BN; CN=EN => ACBE  là hình bình hành (tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

=> AE//=BC

=> AD=AE =BC

=> AE trùng AD hay A; D; E thẳng hàng (Qua 1 điểm ngoài đường thẳng chỉ dựng được duy nhất 1 đường thẳng // với đường thẳng đã cho)

=> D đối xứng với E qua A

a, Vì N là trung điểm BD và AC nên ABCD là hbh

Vì M là trung điểm CE và AB nên AEBC là hbh

b, Vì ABCD và AEBC là hbh nên \(\left\{{}\begin{matrix}AE//BC;AE=BC\\AD//BC;AD=BC\end{matrix}\right.\Rightarrow AE\equiv AD;AE=AD\)

Vậy E đx D qua A

Cô hướng dẫn nhé. Do tính chất đối xứng, ta suy ra AB = BD; AM = MI hay BM là đường trung bình tam giác ADI.

Từ đó ta có BM // DI và DI = 2BM.

Hoàn toàn tương tự : MC // IE và IE = 2MC

Lại có MB = MC và B, M, C thẳng hàng nên D, I, E thẳng hàng và DI = IE

Vậy D đối xứng với E qua I.