a)

\(\begin{array}{l}f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}{x^2} - \frac{1}{2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{1}{2}\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{2}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + 1} \right) = 1\end{array}\)

b) Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\) và có hệ số góc bằng \(k = f'\left( 1 \right) = 1\) là: \(y - \frac{1}{2} = 1\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = x - 1 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = x - \frac{1}{2}\).

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) tại duy nhất điểm \(M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)\).

 9 đko nhỉ

Đặt \(h\left(x\right)=f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)-m\Rightarrow h'\left(x\right)=2f'\left(x\right)\left[f\left(x\right)-1\right]\)

\(h'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f'\left(x\right)=0\\f\left(x\right)=1\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta thấy \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm (do \(f\left(x\right)\) có 2 cực trị) và \(y=1\) cắt \(y=f\left(x\right)\) tại 3 điểm

\(\Rightarrow h'\left(x\right)=0\) có 5 nghiệm

\(\Rightarrow\) Hàm \(g\left(x\right)\) có 9 cực trị khi \(f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)-m=0\) có 4 nghiệm không trùng với nghiệm của \(h'\left(x\right)=0\)

TH1: \(m=0\Rightarrow f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(x\right)=0\\f\left(x\right)=2\end{matrix}\right.\)

\(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm, trong đó 1 nghiệm trùng với \(f'\left(x\right)=0\) nên chỉ tính 1 nghiệm, \(f\left(x\right)=2\) có 3 nghiệm \(\Rightarrow f^2\left(x\right)-2f\left(x\right)=0\) có 4 nghiệm ko trùng \(h'\left(x\right)=0\) (thỏa mãn)

TH2: \(m>0\), đặt \(k=f\left(x\right)\Rightarrow k^2-2k-m=0\) (1) luôn có 2 nghiệm pb trái dấu \(k_1< 0< k_2\) do \(c=-m< 0\)

Từ đồ thị ta thấy \(f\left(x\right)=k_1\) luôn có đúng 1 nghiệm

Do đó, \(f\left(x\right)=k_2\) phải có 3 nghiệm phân biệt đồng thời \(k_2\ne1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< k_2< 4\\k_2\ne1\end{matrix}\right.\)

(\(k_2\) là nghiệm dương của (1) nên \(k_2=1+\sqrt{m+1}\))

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< 1+\sqrt{m+1}< 4\\1+\sqrt{m+1}\ne1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< 8\Rightarrow m=\left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}\)

Kết hợp lại ta được \(m=\left\{0;1;...;7\right\}\) có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Dựa vào đồ thị, ta thấy:

a) Trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) , giá trị của f(x) tăng

b) Trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) , giá trị của f(x) giảm

46.

Giả sử hình vuông ABCD tâm I, do I là tâm đối xứng hình vuông nên là tâm đối xứng đồ thị

\(\Rightarrow\) I là điểm uốn có tọa độ \(I\left(0;0\right)\) của hàm số

Do A đối xứng C, B đối xứng D qua I (đồng thời là gốc tọa độ) nên trong các cặp điểm AC và BD luôn có 2 điểm mang hoành độ dương và 2 điểm mang hoành độ âm, ko mất tính tổng quát, giả sử A và B mang hoành độ dương. Gọi \(A\left(a;a^3-3a\right)\) ; \(B\left(b;b^3-3b\right)\) với \(b>a>0\)

\(\Rightarrow C\left(-a;-a^3+3a\right)\) ; \(D\left(-b;-b^3+3b\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{CA}=\left(2a;2a^3-6a\right)\\\overrightarrow{DB}=\left(2b;2b^3-6b\right)\end{matrix}\right.\)

ABCD là hình vuông \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=BD\\AC\perp BD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+\left(a^3-3a\right)^2=b^2+\left(b^3-3b\right)^2\\ab+\left(a^3-3a\right)\left(b^3-3b\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+a^2\left(a^2-3\right)^2=b^2+b^2\left(b^2-3\right)^2\\1+\left(a^2-3\right)\left(b^2-3\right)=0\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-3=x>-3\\b^2-3=y>-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3+x^2\left(x+3\right)=y+3+y^2\left(y+3\right)\\xy=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+3x+3y+1\right)=0\\xy=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)+2=0\\xy=-1\end{matrix}\right.\) (do \(b>a>0\Rightarrow x\ne y\))

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=-1;xy=-1\\x+y=-2;xy=-1\end{matrix}\right.\)

Sử dụng Viet đảo ta được

 \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2};\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right);\left(-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right);\left(-1+\sqrt{2};-1-\sqrt{2}\right)\)

Do \(y>x\) nên chỉ có 2 cặp thỏa mãn. Mỗi giá trị x; y cho đúng 1 giá trị a; b dương tương ứng, nên có 2 cặp A; B thỏa mãn \(\Rightarrow\) có 2 hình vuông thỏa mãn (thực ra có thể tìm chính xác tọa độ A; B nhưng nó hơi xấu, ví dụ ứng với \(x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a^2=x+3=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow a=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}}\) ko rút gọn được

47.

- Nhận xét quan trọng: hai mặt phẳng (a) và Oxy vuông góc (thấy ngay bằng dấu hiệu cả hai đều "khuyết z")

Từ nhận xét trên, ta thấy khoảng cách từ điểm H thuộc Oxy tới (a) chính là khoảng cách từ H tới d, với d là giao tuyến của (a) và mp Oxy. 

Gọi K là hình chiếu vuông góc của M xuống Oxy \(\Rightarrow MK\perp Oxy\) với \(K\left(4;-2;0\right)\)

\(\Rightarrow MK\perp d\) ; mà \(d\perp MH\) theo giả thiết \(\Rightarrow d\perp\left(MHK\right)\)

\(\Rightarrow d\perp KH\) hay tam giác AHK vuông tại H

\(\Rightarrow\) Quỹ tích H là đường tròn đường kính AK thuộc mặt phẳng Oxy

Bây giở ta có 1 bài toán hình học phẳng đơn giản : cho 1 đường thằng cố định nằm ngoài đường tròn (O), tìm điểm M thuộc (O) sao cho khoảng cách từ M tới d đạt min. Lời giải đơn giản là qua tâm O đường tròn vẽ đường thẳng d' vuông góc d, d' cắt (O) tại A (với A nằm giữa O và d), khi đó khoảng cách từ A tới d sẽ ngắn nhất.

Trong bài toán này, để khỏi cần tính toán nhiều thì ta tính nhanh khoảng cách nhỏ nhất như sau:

Gọi I là trung điểm AK \(\Rightarrow I\left(1;2;0\right)\)

\(\Rightarrow d\left(H;\left(\alpha\right)\right)_{min}=d\left(I;\left(\alpha\right)\right)-\dfrac{AK}{2}\) (có biết tại sao có biểu thức này không?) \(=15\)

công nhận đề Hà Nội nay hay quá, chưa thấy đề nào hay như vậy luôn