Xét tam giác ABN và tam giác ACM có 

\(\hept{\begin{cases}AB=AC\\AM=AN\left(\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}AC\right)\\\widehat{A}\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABN=\Delta ACM\left(\text{c.g.c}\right)\)

=> BN = CM (cạnh tương ứng)

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)(cạnh tương ứng)

b) Vì \(\hept{\begin{cases}\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\left(\Delta ABC\text{ cân}\right)\\\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABN}=\widehat{ACB}-\widehat{ACM}\)

=> \(\widehat{NBC}=\widehat{MCB}\text{ hay }\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\Rightarrow\Delta HBC\text{ cân tại H }\left(ĐPCM\right)\)

=> HB = HC

c) Qua H kẻ đường thẳng PQ // BC (Q \(\in AC;P\in AB\))

Vì PQ//BC

=> \(\hept{\begin{cases}\widehat{APQ}=\widehat{ABC}\left(\text{đồng vị}\right)\\\widehat{AQP}=\widehat{ACB}\left(\text{ đồng vị}\right)\end{cases}}\text{mà }\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{APQ}=\widehat{AQP}\)

=> Tam giác APQ cân tại A

=> AP = AQ

=> PB = QC

Xét tam giác PBH và tam giác QCH có  : 

\(\hept{\begin{cases}PB=QC\left(cmt\right)\\HB=HC\left(\text{câu b}\right)\\\widehat{PBH}=\widehat{QCH}\left(\Leftrightarrow\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\left(\text{câu a}\right)\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta PBH}=\Delta QCH\left(c.g.c\right)\)

=> PH = QH (cạnh tương ứng)

Xét tam giác APH và tam giác AQH có : 

\(\hept{\begin{cases}AP=AQ\\PH=QH\\AH\text{ chung}\end{cases}}\Rightarrow\Delta APH=\Delta AQH\left(c.c.c\right)\) 

=> \(\widehat{AHP}=\widehat{AHQ}\left(\text{cạnh tương ứng}\right)\text{ mà }\widehat{AHP}+\widehat{AHQ}=180^{\text{o}}\Rightarrow\widehat{AHP}=\widehat{AHQ}=90^{\text{o}}\Rightarrow AH\perp PQ\)

Lại có PQ//BC

=> AH \(\perp\)BC (đpcm)

a: Xét ΔABN và ΔACM có

AB=AC

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM

Do đó: ΔABN=ΔACM

b: Ta có: AM+MB=AB

AN+NC=AC

mà AM=AN và AB=AC

nên MB=NC

Xét ΔMBC và ΔNCB có

MB=NC

\(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)

BC chung

Do đó: ΔMBC=ΔNCB

=>\(\widehat{BMC}=\widehat{CNB}\) và \(\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\)

Ta có: \(\widehat{MCB}=\widehat{NBC}\)

=>\(\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\)

=>ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

c: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Ta có: FB=FC
=>F nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,O,F thẳng hàng

Bài làm

a) Xét tam giác AMN có:

AM = AN 

=> Tam giác AMN cân tại A.

b) Xét tam giác ABC cân tại A có:

\(\widehat{B}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                            ^₍₁₎ 

Xét tam giác AMN cân tại A có:

\(\widehat{M}=\frac{180^0-\widehat{A}}{2}\)                                         ^₍₂₎ 

Từ ^₍₁₎ và ^₍₂₎ => \(\widehat{B}=\widehat{M}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

=> MN // BC

c) Xét tam giác ABN và tam giác ACM có:

AN = AM ( gt )

\(\widehat{A}\) chung

AB = AC ( Vì tam giác ABC cân )

=> Tam giác ABN = tam giác ACM ( c.g.c )

=> \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( hai cạnh tương ứng )

Ta có: \(\widehat{ABN}+\widehat{MBC}=\widehat{ABC}\)

          \(\widehat{ACM}+\widehat{MCB}=\widehat{ACB}\)

Mà \(\widehat{ABN}=\widehat{ACM}\)( cmt )

      \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)( hai góc kề đáy của tam giác cân )

=> \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=> Tam giác BIC cân tại I

Vì MN // BC

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{IBC}\)( so le trong )

     \(\widehat{NMI}=\widehat{ICB}\)( so le trong )

Và \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)( cmt )

=> \(\widehat{MNI}=\widehat{NMI}\)

=> Tam giác MIN cân tại I

d) Xét tam giác cân AMN có:

E là trung điểm của MN

=> AE là trung tuyến  

=> AE là đường trung trực.

=> \(\widehat{AEN}=90^0\)                    ^₍₁₎ 

Xét tam giác cân MNI có:

E là trung điểm MN

=> IE là đường trung tuyến

=> IE là trung trực.                            

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)        ^₍₂₎ 

Cộng ^₍₁₎ và ^₍₂₎ ta được:\(\widehat{IEN}+\widehat{AEN}=90^0+90^0=180^0\) => A,E,I thẳng hàng.                      ^₍₃₎ 

Xét tam giác cân BIC có:

F là trung điểm BC

=> IF là trung tuyến

=> IF là trung trực.

=> \(\widehat{IFC}=90^0\)                

Và MN // BC

Mà \(\widehat{IFC}=90^0\)

=> \(\widehat{IEN}=90^0\)

=> E,I,F thẳng hàng.             ^₍₄₎ 

Từ ^₍₃₎ và ^₍₄₎ => A,E,I,F thẳng hàng. ( đpcm )

# Học tốt #

đề bài thiếu thì phải

Lười đánh máy nên luyện chữ :))