Áp dụng BĐT Bu nhi a cốp x ki 

\(\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]=5\left(x+y\right)\)

=> \(\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\le5\left(x+y\right)\)

=> \(10^2\le5\left(x+y\right)\)

Tiếp nha 

Áp dụng bđt Bunhiacopxki , ta có : \(10^2=\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow5\left(x+y\right)\ge100\Rightarrow x+y\ge20\) (đpcm)

Áp dụng BĐT Cauchy–Schwarz ta có:

\(\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)\ge\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\)

<=>   \(5\left(x+y\right)\ge100\)

<=>  \(x+y\ge20\)

Dấu "=" xảy ra  <=>  \(x=4;\)\(y=16\)

ban duong quynh giang oi bdt ay phai la bunhiacopxki moi dung

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(10^2=\left(1.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\ge\frac{10^2}{1^2+2^2}=20\)\(\Rightarrow x+y\ge20\)

cách khác:

  Áp dụng bất đẳng thức Cô Si : ta có 

    \(x+4\ge2\sqrt{x.4}=4\sqrt{x}\left(1\right).\)

    \(y+16\ge2\sqrt{y.16}=8\sqrt{y}\left(2\right).\)

cộng vế với vế (1) và (2) ta có : \(x+y+20\ge4\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)=40.\)

                                                        => \(x+y\ge20.\)dấu "=" xảy ra khi x = 4 ; y = 16 

\(\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\) 

\(tt:\frac{y-z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}=\sqrt{y}-\sqrt{z};.....\) 

\(\Rightarrow\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\frac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}+.....-\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}=0\Rightarrow dpcm\)

Chắc bạn ghi nhầm đề, ĐKXĐ là \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=0\) không phù hợp giả thiết

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(100=\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)^2\le\left(1+4\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\ge25\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=16\\y=9\end{matrix}\right.\)

Kiểm tra lại đề bài đi em, chỗ CMR đó

Đặt \(\sqrt[3]{x^2}=m\Leftrightarrow x^2=m^3;\sqrt[3]{y^2}=n\Leftrightarrow y^2=n^3\)

Thay vào biểu thức:

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^3+m^2n}+\sqrt{n^3+mn^2}=a\\ \Leftrightarrow m^3+n^3+mn\left(m+n\right)+2\sqrt{\left(m^3+m^2n\right)\left(n^3+mn^2\right)}=a^2\\ \Leftrightarrow m^3+n^3+mn\left(m+n\right)+2\sqrt{m^2n^2\left(m+n\right)}=a^2\\ \Leftrightarrow m^3+n^3+3mn\left(m+n\right)=a^2\\ \Leftrightarrow\left(m+n\right)^3=a^2\\ \Leftrightarrow m+n=\sqrt[3]{a^2}\\ \Leftrightarrow\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{y^2}=\sqrt[3]{a^2}\)

Em chắc chắn là đề bài đúng chứ? Trước khi nhìn kĩ lại?