a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHAC

=>CA/CH=CB/CA

=>CA^2=CH*CB

b: BD là phân giác

=>BC/AB=DC/DA

Xét ΔHAC có DE//AH

nên EC/EH=DC/DA

=>BC/AB=EC/EH

=>AB/EH=BC/EC

c: AC=căn 20^2-12^2=16cm

DA/AB=DC/BC

=>DA/3=DC/5=(DA+DC)/(3+5)=16/8=2

=>DA=6cm; DC=10cm

S BAC=1/2*12*16=96cm²

S BAD=1/2*6*12=36cm²

=>S BDC=60cm²

a, Vì \(BC^2=400=256+144=AC^2+AB^2\) nên tam giác ABC vuông tại A

b, Áp dụng HTL: \(AM=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=9,6\left(cm\right)\)

\(BM=\dfrac{AB^2}{BC}=7,2 \left(cm\right)\)

c, Áp dụng HTL: \(AE\cdot AB=AM^2\)

Áp dụng PTG: \(AM^2=AC^2-MC^2\)

Vậy \(AE\cdot AB=AC^2-MC^2\)

d, Áp dụng HTL: \(AE\cdot AB=MB\cdot MC=AM^2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{EAM}=\widehat{ACM}\left(cùng.phụ.\widehat{MAC}\right)\\\widehat{AEM}=\widehat{AMC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta AEM\sim\Delta CMA\left(g.g\right)\\ \Rightarrow EM\cdot AC=AM^2\)

Vậy ta được đpcm

a) Xét ΔAHB và ΔCAB có

Góc B chung

Góc AHB= Góc A=90^o

=>  ΔAHB ∼ ΔCAB (gg)

b) Xét ΔABC có Góc A=90^o

=> AB² + AC²=BC²

=>15²+20²=BC²

=> BC=25 cm

ta lại có SΔABC =\(\dfrac{AB.AC}{2}=\dfrac{BC.AH}{2}\)

=>\(AB.AC=BC.AH=>15.20=25.AH\)=>AH=12cm

c) M là trung điểm của BC=> BM=\(\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.25=12,5\) cm

Xét ΔABH có góc BHA=90^o

=> HB²+AH²=AB²

=> BH²+12²=15²=> BH=9cm

ta có AH⊥BC => AH⊥BM ( M∈BC)

SΔAHM=SΔABM-SΔABH

=> SΔAHM=\(\dfrac{12.12,5}{2}-\dfrac{12.9}{2}=21cm^2\)

Do E là chân đường phân giác góc D, theo định lý phân giác:

\(\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{DA}{DB}\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BDE}+\widehat{EDF}+\widehat{FDC}=180^0\\\widehat{EDF}=90^0\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\widehat{BDE}+\widehat{FDC}=90^0\) (1)

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{FDA}+\widehat{ADE}=90^0\left(gt\right)\\\widehat{ADE}=\widehat{BDE}\left(\text{DE là phân giác góc D}\right)\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow\widehat{BDE}+\widehat{FDA}=90^0\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{FDA}=\widehat{FDC}\Rightarrow DF\) là phân giác góc \(\widehat{ADC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{DC}{DA}\) (định lý phân giác)

\(\Rightarrow\dfrac{EA}{EB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{DA}{DB}.\dfrac{DB}{DC}.\dfrac{DC}{DA}=1\) (đpcm)

Câu a quá dễ rồi bạn tự làm

Áp dụng định lý Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=20\) (cm)

Theo câu a, do 2 tam giác vuông HBA và ABC đồng dạng

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{AB}{BC}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12.16}{20}=9,6\left(cm\right)\)

a: Xet ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có

góc B chung

=>ΔHBA đồng dạng vơi ΔABC

b: \(BC=\sqrt{12^2+16^2}=20\left(cm\right)\)

BH=12^2/20=7,2cm

c: \(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot16=6\cdot16=96\left(cm^2\right)\)