mk bận đi ch nên chỉ tạm câu a nha 

vẽ 3 đường trung tuyến AD ; BE ; CF 

VT = 

\(GA+GB+GC\)   ( nhớ thêm dấu vec tơ nha ) 

\(=-\frac{2}{3}AD-\frac{2}{3}BE-\frac{2}{3}CF\)  

\(=-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(AB+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(BA+BC\right)-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left(CA+CB\right)\)     ( quy tắc hình bình hành ) 

\(=-\frac{1}{3}\left(AB+AC\right)-\frac{1}{3}\left(BA+BC\right)-\frac{1}{3}\left(CA+CB\right)\) 

\(=-\frac{1}{3}AB-\frac{1}{3}AC-\frac{1}{3}BA-\frac{1}{3}BC-\frac{1}{3}CA-\frac{1}{3}CB\)    

\(=0=VP\)

.... chua hoc

a: Gọi M là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

G là trọng tâm

M là trung điểm của AB

Do đó: CG=2/3CM

=>CG=2GM

=>\(\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{GM}\)

\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

\(=2\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GC}\)

\(=\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

b: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\)

\(=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)\)

\(=3\cdot\overrightarrow{MG}\)

* cái này là công thức rồi bn o cần chứng minh đâu

công thức : cho tam giác ABC ; nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Gọi M trung điểm BC

       G đối xứng D qua M

=> tứ giác BGCD là hình bình hành

=> GD=2.GM (Hình bình hành có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) 

Mà AG = 2.GM ( \(\dfrac{AG}{GM}=\dfrac{2}{1},GA=\dfrac{2}{3}AM\) )

⇒ AG=GD

Mặt khác, G ϵ AD 

⇒\(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\)

Ta có \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GD}\) (Quy tắc hình bình hành)

Nên \(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}\) = \(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GA}\)   

Mà \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{GD}\) (cmt)

⇒\(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{O}\)

Lời giải:

Ta chứng minh bổ đề sau: với tam giác $ABC$ có $G$ là trọng tâm tam giác thì \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

Thật vậy:

Kéo dài $AG$ cắt $BC$ tại $G'$. Theo tính chất trọng tâm suy ra \(\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GA'}=0\)

Mà \(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BA'}\\ \overrightarrow{GA'}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CA'}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GA'}=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+(\overrightarrow{BA'}+\overrightarrow{CA'})=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\)

Do đó, \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0\)

Áp dụng vào bài toán, ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow X=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HC}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{HB}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{HB}\)

\(\Leftrightarrow X=\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{GB}\)

Gọi \(T'\) là trung điểm của $AC$ thì $D,H,T'$ thẳng hàng và $B,G,T'$ thẳng hàng hay cả $6$ điểm thẳng hàng

Do đó \(\overrightarrow{HD},\overrightarrow{GB}\) là hai vector cùng phương, ngược hướng (theo chiều vẽ)

Mặt khác dễ thấy tam giác $ADC$ và $CBA$ là hai tam giác bằng nhau, lại có hai trọng tâm lần lượt là \(H,G\) nên \(DH=BG\)

Như vậy. \(\overrightarrow{HD}=-\overrightarrow{GB}\Leftrightarrow \overrightarrow{HD}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow X=\overrightarrow{0}\)

Ta có đpcm.

Câu 1: \(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0\)

Bởi vì khi đó, IA và IB là hai vecto đối nhau

Suy ra: IA và IB là hai vecto cùng phương

mà IA và IB có điểm chung là I

nên A,I,B thẳng hàng và IA=IB

Suy ra: I là trung điểm của AB